lim_(x→−3) [1−cos(x+3)]/[(x^(2)+6x+9)(x−3)] = … A. −1/12 B. −1/2 C. 1/12 D. 1/2 E. 1

Jawaban yang benar adalah A. -1/12 Ingat limit trigonometri: lim_(x→0) (sin x)/x = 1 Identitas trigonometri : sin²x + cos²x = 1 sin²x = 1 - cos²x Pembahasan : Untuk mencari nilai suatu limit, dengan mensubstitusikan nilai x ke persamaan limitnya. Jika mendapatkan hasil 0/0 maka diperlukan manipulasi aljabar salah satunya dengan mengalikan faktor sekawan. lim_(x→−3) [1−cos(x+3)]/[(x²+6x+9)(x−3)] = [1−cos(-3+3)]/[((-3)²+6·(-3)+9)(-3−3)] = [1−cos(0)]/[(9-18+9)(-6)] = (1-1)/(0·(-6) = 0/0 Karena diperoleh 0/0 maka dilakukan manipulasi aljabar berikut : lim_(x→−3) [1−cos(x+3)]/[(x²+6x+9)(x−3)] = lim_(x→−3) [1−cos(x+3)][1+cos(x+3)]/[(x²+6x+9)(x−3)][1+cos(x+3)] = lim_(x→−3) [1²−cos²(x+3)]/[(x²+6x+9)(x−3)][1+cos(x+3)] = lim_(x→−3) [1−cos²(x+3)]/[(x²+6x+9)(x−3)][1+cos(x+3)] = lim_(x→−3) [sin²(x+3)]/[(x+3)² (x−3)][1+cos(x+3)] Misalkan : y = x + 3 y - 3 = x x → -3 maka y → 0 lim_(x→−3) [sin²(x+3)]/[(x+3)² (x−3)][1+cos(x+3)] = lim_(y→0) [sin²y]/[(y)² (y–3−3)][1+cos y] = lim_(y→0) (sin y · sin y)/[y · y · (y–6)][1+cos y] = lim_(y→0) (sin y)/y · (sin y)/y · 1/[(y–6)(1+cos y)] = 1 · 1 · 1/[(0-6)(1+cos 0)] = 1/[(-6)·(1+1)] = 1/((-6)·2) = 1/(-12) = -1/12 Jadi nilai dari lim_(x→−3) [1−cos(x+3)]/[(x^(2)+6x+9)(x−3)] = -1/12 Oleh karena itu jawaban yang benar adalah A