lim sin 3x sin 7x / 4x² x~0

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

Jawaban terverifikasi

BimBim B

Level 40

31 Juli 2024 07:36

Jawaban terverifikasi

<h2>Jawabannya adalah 21/4.</h2> Penjelasanterlampir

Jawabannya adalah 21/4.

Penjelasan

terlampir

· 5.0 (1)

Nanda R

Community

Level 89

31 Juli 2024 21:27

Jawaban terverifikasi

Untuk menghitung limit dari fungsi \(\frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2}\) saat \(x\) mendekati 0, kita bisa menggunakan beberapa aturan dasar limit dan identitas trigonometri. Mari kita uraikan langkah-langkahnya:1. Gunakan Identitas Trigonometri:   Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan bentuk \(\sin(3x) \sin(7x)\). Identitas yang berguna di sini adalah:  \[   \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]   \]  Dengan \(A = 3x\) dan \(B = 7x\):  \[   \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(3x - 7x) - \cos(3x + 7x)]   \]  \[   \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(-4x) - \cos(10x)]   \]  Karena \(\cos(-4x) = \cos(4x)\), maka:  \[   \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]   \]2. Hitung Limit:   Substitusi ke dalam limit:  \[   \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]}{4x^2}   \]  \[   = \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2}   \]  Kita dapat menggunakan fakta bahwa \(\cos(4x)\) dan \(\cos(10x)\) mendekati 1 saat \(x \to 0\), sehingga:  \[   \cos(4x) - \cos(10x) \approx -10x \sin(10x) + 4x \sin(4x)   \]  Sekarang, gunakan deret Taylor untuk \(\cos\) sekitar \(x = 0\):  \[   \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}   \]  Maka:  \[   \cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - 8x^2   \]  \[   \cos(10x) \approx 1 - \frac{(10x)^2}{2} = 1 - 50x^2   \]  \[   \cos(4x) - \cos(10x) \approx (1 - 8x^2) - (1 - 50x^2) = 42x^2   \]  Jadi:  \[   \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2} \approx 42   \]  Maka:  \[   \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \frac{1}{8} \times 42 = \frac{21}{4}   \]  Jadi, limitnya adalah \(\frac{21}{4}\).

Untuk menghitung limit dari fungsi \(\frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2}\) saat \(x\) mendekati 0, kita bisa menggunakan beberapa aturan dasar limit dan identitas trigonometri. Mari kita uraikan langkah-langkahnya:

1. **Gunakan Identitas Trigonometri**:
Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan bentuk \(\sin(3x) \sin(7x)\). Identitas yang berguna di sini adalah:

\[
\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]
\]

Dengan \(A = 3x\) dan \(B = 7x\):

\[
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(3x - 7x) - \cos(3x + 7x)]
\]

\[
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(-4x) - \cos(10x)]
\]

Karena \(\cos(-4x) = \cos(4x)\), maka:

\[
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]
\]

2. **Hitung Limit**:
Substitusi ke dalam limit:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]}{4x^2}
\]

\[
= \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2}
\]

Kita dapat menggunakan fakta bahwa \(\cos(4x)\) dan \(\cos(10x)\) mendekati 1 saat \(x \to 0\), sehingga:

\[
\cos(4x) - \cos(10x) \approx -10x \sin(10x) + 4x \sin(4x)
\]

Sekarang, gunakan deret Taylor untuk \(\cos\) sekitar \(x = 0\):

\[
\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}
\]

Maka:

\[
\cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - 8x^2
\]

\[
\cos(10x) \approx 1 - \frac{(10x)^2}{2} = 1 - 50x^2
\]

\[
\cos(4x) - \cos(10x) \approx (1 - 8x^2) - (1 - 50x^2) = 42x^2
\]

Jadi:

\[
\frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2} \approx 42
\]

Maka:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \frac{1}{8} \times 42 = \frac{21}{4}
\]

Jadi, limitnya adalah \(\frac{21}{4}\).

· 0.0 (0)

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS

LATIHAN SOAL GRATIS!

Drill Soal

Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian

Cobain Drill Soal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

Pertanyaan serupa

Tolong dijawab dengan caranya Trimaksih☺️☺️

308

0.0

Jawaban terverifikasi

Bantu jawab kak :((

106

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan batas-batas nilai m agar fungsi kuadrat f(x) = (m - 1)x² + (m + 7)x + (2m-1) memotong sumbu X di dua titik yang berbeda! Tolong dijawab dengan pembahasan yang lengkap yaaa Terima kasih♡

250

5.0

Jawaban terverifikasi

minta tolong untuk membantu jawab ya kak. terimakasih

156

0.0

Jawaban terverifikasi

Tolong kak nomer 76

0.0

Jawaban terverifikasi