Ohhh A
31 Juli 2024 02:05
Iklan
Ohhh A
31 Juli 2024 02:05
Pertanyaan
Belajar bareng Champions
Brain Academy Champions
Hanya di Brain Academy
Habis dalam
01
:
19
:
21
:
28
15
2
Iklan
BimBim B
31 Juli 2024 07:36
Penjelasan
terlampir
· 5.0 (1)
Iklan
Nanda R
Community
31 Juli 2024 21:27
Untuk menghitung limit dari fungsi \(\frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2}\) saat \(x\) mendekati 0, kita bisa menggunakan beberapa aturan dasar limit dan identitas trigonometri. Mari kita uraikan langkah-langkahnya:
1. **Gunakan Identitas Trigonometri**:
Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan bentuk \(\sin(3x) \sin(7x)\). Identitas yang berguna di sini adalah:
\[
\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]
\]
Dengan \(A = 3x\) dan \(B = 7x\):
\[
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(3x - 7x) - \cos(3x + 7x)]
\]
\[
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(-4x) - \cos(10x)]
\]
Karena \(\cos(-4x) = \cos(4x)\), maka:
\[
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]
\]
2. **Hitung Limit**:
Substitusi ke dalam limit:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]}{4x^2}
\]
\[
= \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2}
\]
Kita dapat menggunakan fakta bahwa \(\cos(4x)\) dan \(\cos(10x)\) mendekati 1 saat \(x \to 0\), sehingga:
\[
\cos(4x) - \cos(10x) \approx -10x \sin(10x) + 4x \sin(4x)
\]
Sekarang, gunakan deret Taylor untuk \(\cos\) sekitar \(x = 0\):
\[
\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}
\]
Maka:
\[
\cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - 8x^2
\]
\[
\cos(10x) \approx 1 - \frac{(10x)^2}{2} = 1 - 50x^2
\]
\[
\cos(4x) - \cos(10x) \approx (1 - 8x^2) - (1 - 50x^2) = 42x^2
\]
Jadi:
\[
\frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2} \approx 42
\]
Maka:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \frac{1}{8} \times 42 = \frac{21}{4}
\]
Jadi, limitnya adalah \(\frac{21}{4}\).
· 0.0 (0)
Buka akses jawaban yang telah terverifikasi
Yah, akses pembahasan gratismu habis
Tanya ke Forum
Biar Robosquad lain yang jawab soal kamu
LATIHAN SOAL GRATIS!
Drill Soal
Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian
Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!
Iklan