Ohhh A

31 Juli 2024 02:05

Iklan

Ohhh A

31 Juli 2024 02:05

Pertanyaan

lim sin 3x sin 7x / 4x² x~0

Belajar bareng Champions

Brain Academy Champions

Hanya di Brain Academy

Habis dalam

01

:

19

:

21

:

28

Klaim

15

2

Jawaban terverifikasi

Iklan

BimBim B

31 Juli 2024 07:36

Jawaban terverifikasi

<h2>Jawabannya adalah 21/4.</h2><p>&nbsp;</p><p><strong><u>Penjelasan</u></strong></p><p>terlampir</p>

Jawabannya adalah 21/4.

 

Penjelasan

terlampir

alt

Iklan

Nanda R

Community

31 Juli 2024 21:27

Jawaban terverifikasi

<p>Untuk menghitung limit dari fungsi \(\frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2}\) saat \(x\) mendekati 0, kita bisa menggunakan beberapa aturan dasar limit dan identitas trigonometri. Mari kita uraikan langkah-langkahnya:</p><p>1. **Gunakan Identitas Trigonometri**:<br>&nbsp; Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan bentuk \(\sin(3x) \sin(7x)\). Identitas yang berguna di sini adalah:</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Dengan \(A = 3x\) dan \(B = 7x\):</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(3x - 7x) - \cos(3x + 7x)]<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(-4x) - \cos(10x)]<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Karena \(\cos(-4x) = \cos(4x)\), maka:</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]<br>&nbsp; \]</p><p>2. **Hitung Limit**:<br>&nbsp; Substitusi ke dalam limit:</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]}{4x^2}<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; = \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2}<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Kita dapat menggunakan fakta bahwa \(\cos(4x)\) dan \(\cos(10x)\) mendekati 1 saat \(x \to 0\), sehingga:</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \cos(4x) - \cos(10x) \approx -10x \sin(10x) + 4x \sin(4x)<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Sekarang, gunakan deret Taylor untuk \(\cos\) sekitar \(x = 0\):</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Maka:</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - 8x^2<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \cos(10x) \approx 1 - \frac{(10x)^2}{2} = 1 - 50x^2<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \cos(4x) - \cos(10x) \approx (1 - 8x^2) - (1 - 50x^2) = 42x^2<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Jadi:</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2} \approx 42<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Maka:</p><p>&nbsp; \[<br>&nbsp; \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \frac{1}{8} \times 42 = \frac{21}{4}<br>&nbsp; \]</p><p>&nbsp; Jadi, limitnya adalah \(\frac{21}{4}\).</p>

Untuk menghitung limit dari fungsi \(\frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2}\) saat \(x\) mendekati 0, kita bisa menggunakan beberapa aturan dasar limit dan identitas trigonometri. Mari kita uraikan langkah-langkahnya:

1. **Gunakan Identitas Trigonometri**:
  Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan bentuk \(\sin(3x) \sin(7x)\). Identitas yang berguna di sini adalah:

  \[
  \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]
  \]

  Dengan \(A = 3x\) dan \(B = 7x\):

  \[
  \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(3x - 7x) - \cos(3x + 7x)]
  \]

  \[
  \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(-4x) - \cos(10x)]
  \]

  Karena \(\cos(-4x) = \cos(4x)\), maka:

  \[
  \sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]
  \]

2. **Hitung Limit**:
  Substitusi ke dalam limit:

  \[
  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]}{4x^2}
  \]

  \[
  = \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2}
  \]

  Kita dapat menggunakan fakta bahwa \(\cos(4x)\) dan \(\cos(10x)\) mendekati 1 saat \(x \to 0\), sehingga:

  \[
  \cos(4x) - \cos(10x) \approx -10x \sin(10x) + 4x \sin(4x)
  \]

  Sekarang, gunakan deret Taylor untuk \(\cos\) sekitar \(x = 0\):

  \[
  \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}
  \]

  Maka:

  \[
  \cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - 8x^2
  \]

  \[
  \cos(10x) \approx 1 - \frac{(10x)^2}{2} = 1 - 50x^2
  \]

  \[
  \cos(4x) - \cos(10x) \approx (1 - 8x^2) - (1 - 50x^2) = 42x^2
  \]

  Jadi:

  \[
  \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2} \approx 42
  \]

  Maka:

  \[
  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \frac{1}{8} \times 42 = \frac{21}{4}
  \]

  Jadi, limitnya adalah \(\frac{21}{4}\).


Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Tanya ke Forum

Biar Robosquad lain yang jawab soal kamu

Tanya ke Forum

LATIHAN SOAL GRATIS!

Drill Soal

Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian

Cobain Drill Soal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

Iklan