lim sin 3x sin 7x / 4x²
x~0...

Question

lim     sin 3x sin 7x / 4x²
x~0

BimBim B · Accepted Answer

Jawabannya adalah 21/4.

Penjelasan

terlampir

Nanda R · Accepted Answer

Untuk menghitung limit dari fungsi $\frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2}$ saat $x$ mendekati 0, kita bisa menggunakan beberapa aturan dasar limit dan identitas trigonometri. Mari kita uraikan langkah-langkahnya:

1. **Gunakan Identitas Trigonometri**:
Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan bentuk $\sin(3x) \sin(7x)$. Identitas yang berguna di sini adalah:

$$
\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]
$$

Dengan $A = 3x$ dan $B = 7x$:

$$
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(3x - 7x) - \cos(3x + 7x)]
$$

$$
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(-4x) - \cos(10x)]
$$

Karena $\cos(-4x) = \cos(4x)$, maka:

$$
\sin(3x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]
$$

2. **Hitung Limit**:
Substitusi ke dalam limit:

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} [\cos(4x) - \cos(10x)]}{4x^2}
$$

$$
= \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2}
$$

Kita dapat menggunakan fakta bahwa $\cos(4x)$ dan $\cos(10x)$ mendekati 1 saat $x \to 0$, sehingga:

$$
\cos(4x) - \cos(10x) \approx -10x \sin(10x) + 4x \sin(4x)
$$

Sekarang, gunakan deret Taylor untuk $\cos$ sekitar $x = 0$:

$$
\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}
$$

Maka:

$$
\cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - 8x^2
$$

$$
\cos(10x) \approx 1 - \frac{(10x)^2}{2} = 1 - 50x^2
$$

$$
\cos(4x) - \cos(10x) \approx (1 - 8x^2) - (1 - 50x^2) = 42x^2
$$

Jadi:

$$
\frac{\cos(4x) - \cos(10x)}{x^2} \approx 42
$$

Maka:

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \sin(7x)}{4x^2} = \frac{1}{8} \times 42 = \frac{21}{4}
$$

Jadi, limitnya adalah $\frac{21}{4}$.

lim sin 3x sin 7x / 4x² x~0

<h2>Jawabannya adalah 21/4.</h2><p> </p><p><strong><u>Penjelasan</u></strong></p><p>terlampir</p>

Jawabannya adalah 21/4.

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

lim sin 3x sin 7x / 4x² x~0

<h2>Jawabannya adalah 21/4.</h2><p>&nbsp;</p><p><strong><u>Penjelasan</u></strong></p><p>terlampir</p>

Jawabannya adalah 21/4.

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

<h2>Jawabannya adalah 21/4.</h2><p> </p><p><strong><u>Penjelasan</u></strong></p><p>terlampir</p>