Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri di tak terhingga berikut

<p>Jawaban yang benar adalah 8/3.</p><p>&nbsp;</p><p>Diketahui:</p><p>lim(x → ∞) (1 - cos (4/x))/((1/x) . tan (3/x))</p><p>&nbsp;</p><p>Ditanya:</p><p>Hasil limit = ...?</p><p>&nbsp;</p><p>Jawab:</p><p>Limit adalah suatu batas yang menggunakan konsep pendekatan fungsi. Ingat konsep berikut:</p><p>(i) Limit trigonometri:</p><p>lim x→0 (sin (ax)/x) = a dan lim x→0 (sin (ax)/tan (bx)) = a/b.</p><p>&nbsp;</p><p>(ii) Sudut rangkap: cos 2x = 1 - 2 sin² x.</p><p>&nbsp;</p><p>Berdasarkan penjelasan di atas, ubah batas nilai limit terlebih dahulu. Misalkan y = 1/x, maka y = 1/∞ = 0.&nbsp;</p><p>Dari hasil di atas maka diperoleh:</p><p>lim(y → 0) (1 - cos (4y))/(y . tan (3y)).</p><p>&nbsp;</p><p>Selanjutnya gunakan sifat sudut rangkap untuk mengubah bentuk cos 4y, yaitu:</p><p>cos 2y = 1 - 2 sin² y ----&gt; cos 4y = 1 - 2 sin² 2y.</p><p>&nbsp;</p><p>Maka dari bentuk di atas diperoleh nilai limitnya yaitu:</p><p>lim(x → ∞) (1 - cos (4/x))/((1/x) . tan (3/x))</p><p>= lim(y → 0) (1 - cos (4y))/(y . tan (3y))</p><p>= lim(y → 0) (1 - [1 - 2 sin² 2y])/(y . tan (3y))</p><p>= lim(y → 0) (1 - 1 + 2 sin² 2y])/(y . tan (3y))</p><p>= lim(y → 0) (2 sin² 2y])/(y . tan (3y)) ---&gt; uraikan bentuk sin² 2y</p><p>= lim(y → 0) [2 × (sin (2y)/y) × (sin (2y)/tan (3y))]</p><p>= 2 × lim(y → 0) [sin (2y)/y] × lim(y → 0) [sin (2y)/tan (3y)]</p><p>= 2 × 2 × (2/3)</p><p>= 8/3.</p><p>&nbsp;</p><p>Jadi, nilai limit fungsi trigonometri tersebut adalah 8/3.</p>