Himpunan penyelesaian dari: √3 sin x° + cos x° = 1 pada interval 0 ≤ x ≤ 360 adalah …. A {0, 60, 120} B. {0, 120, 360} C. {30, 150} D. {30, 330} E. {120, 360}

Question

Jawaban yang benar adalah B. {0, 120, 360}.

Diketahui:

√3 sin x° + cos x° = 1 pada interval 0 ≤ x ≤ 360

Ditanya:

Himpunan penyelesaian = ...?

Jawab:

Ingat konsep berikut!

(i) Bentuk a sin x + b cos x dapat diubah menjadi bentuk:

a sin x + b cos x = k cos (x - θ),

dengan:

k = √(a² + b²) dan tan θ = a/b.

(ii) Jika cos x = cos θ, maka diperoleh penyelesaian

x = θ + k.360° dan x = -θ + k.360°.

Dari bentuk soal √3 sin x° + cos x° = 1 diperoleh a = √3 dan b = 1, maka:

k = √(a² + b²)

k = √((√3)² + 1²)

k = √(3 + 1)

k = √4

k = 2.

tan θ = a/b

tan θ = √3/1

θ = arc tan (√3)

θ = 60°. ---> kuadran I karena a dan b bertanda positif

Sehingga diperoleh bentuk baru yaitu:

√3 sin x° + cos x° = 1

2 cos (x - 60°) = 1

cos (x - 60°) = 1/2

cos (x - 60°) = cos 60°.

Dari bentuk baru tersebut, lalu cari solusinya.

(1) Untuk x = θ + k.360° menjadi:

x - 60° = 60° + k.360°

x = 120° + k.360°.

k = -1 ---> x = 120° + (-1).360° = -240° (tidak memenuhi interval)

k = 0 ---> x = 120° + (0).360° = 120° (memenuhi interval)

k = 1 ---> x = 120° + (1).360° = 480° (tidak memenuhi interval)

(2) Untuk x = -θ + k.360° menjadi:

x - 60° = -60° + k.360°

x = k.360°.

k = -1 ---> x = (-1).360° = -360° (tidak memenuhi interval)

k = 0 ---> x = (0).360° = 0° (memenuhi interval)

k = 1 ---> x = (1).360° = 360° (memenuhi interval)

Dari kedua solusi di atas, yang memenuhi interval ada tiga nilai sudut, yaitu 0°, 120°, dan 360°.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Pertanyaan serupa