gunakan metode pecahan parsial untuk menentukan integral yang bersangkutan ∫2ײ+×-8/׳+4×

Jawaban: ½.arc tan(x/2) ​+ 2.ln(x²+4) - 2ln(x) Identitas trigonometri sec²x = 1 + tan²x Turunan Trigonometri y = tanx ===> y'=sec²x Dekomposisi pecahan aljabar menjadi pecahan parsial ∫ (2x²+x-8)/(x³+4x) dx 2x²+x-8/x(x²+4) = A/x + (Bx+C)/(x²+4) Menyamakan penyebut 2x²+x-8/x(x²+4) = {A(x²+4) + (Bx+C)x}/{x(x²+4)} 2x²+x-8 = Ax²+4A + Bx²+Cx 2x²+x-8 = (A+B)x²+Cx + 4A Maka didapat A+B = 2 ....(1) C = 1 4A = -8 ===> A=-8/4 ===> A=-2 Substitusikan A=-2 ke pers. (1) A+B=2 -2+B=2 B = 4 Dengan mensubstitusikan hasil A, B, dan C ke persamaan, maka hasil dekomposisinya adalah 2x²+x-8/x(x²+4) = -2/x + (4x+1)/(x²+4) 2x²+x-8/x(x²+4) = -2/x + (4x+1)/(x²+4) =∫-2/x + (4x+1)/(x²+4) =∫-2/x + 4x/(x²+4) + 1/(x²+4) Sifat penjumlahan integral ∫{f(x)+g(x)+h(x)} dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx + ∫h(x) dx =-2.∫1/x dx + ∫4x/(x²+4) dx + ∫1/(x²+4) dx = ∫4x/(x²+4) dx + ∫1/(x²+4) dx - 2ln(x) Mengerjakan integral I Misal u=x²+4, du/dx = 2x ====> du/2x = dx = ∫4x/u du/2x + ∫1/(x²+4) dx - 2ln(x) = ∫4x/2x.u du+ ∫1/(x²+4) dx - 2ln(x) = ∫2/u du+ ∫1/(x²+4) dx - 2ln(x) = 2.ln(x²+4) + ∫1/(x²+4) dx - 2ln(x) Selanjutnya mengerjakan integral ke II = ∫1/(x²+4) dx + 2.ln(x²+4) - 2ln(x) Menjadikan ke bentuk 1/(x²+1) agar bisa diintegralkan = ∫1/(4A²+4) dx + 2.ln(x²+4) - 2ln(x) x² = 4A² ===> x² =(2A)² ===> x=2A ===> x/2 = A = ∫1/(4.(x/2)²+4) dx + 2.ln(x²+4) - 2ln(x) Misal u=x/2, maka du/dx = 1/2 ===> 2du = dx = ∫1/4(u²+1) .2du + 2.ln(x²+4) - 2ln(x) = ∫2/4(u²+1) du + 2.ln(x²+4) - 2ln(x) Karena sec²α = 1 + tan²α , maka u kita misalkan tanα Misal u=tanα , du/dα = sec²α du = sec²α dα = 2/4 .∫1/(tan²α+1) sec²α dα + 2.ln(x²+4) - 2ln(x) = ½∫sec²α/sec²α dα+ 2.ln(x²+4) - 2ln(x) = ½∫1 dα ​+ 2.ln(x²+4) - 2ln(x) = ½α ​+ 2.ln(x²+4) - 2ln(x) Karena tadi u=tanα, maka α = tan⁻¹u = arc tan(u) = ½arc tan(u) ​+ 2.ln(x²+4) - 2ln(x) Dan karena bentuknya masih berupa u, kita ubah menjadi x sesuai dengan permisalan u sebelumnya. Karena tadi dimisalkan u=x/2, maka dapat dikembalikan lagi. = ½.arc tan(x/2) ​+ 2.ln(x²+4) - 2ln(x) Jadi, jawabannya adalah ½.arc tan(x/2) ​+ 2.ln(x²+4) - 2ln(x).