Grafik fungsi kubik y = 2x³ - 7x² - 24x + 45 memotong sumbu X di x₁, x₂ dan x₃. Jika x₁ < x₂ < x₃, nilai dari x₁² + x₃² adalah .... A. 12 B. 18 C. 22 D. 29 E. 34

<p>Jawaban yang benar adalah E.</p><p>&nbsp;</p><p>&nbsp;</p><p>Ingat konsep berikut:</p><p>Jika suatu grafik fungsi melalui sumbu-x, maka grafik tersebut memotong sumbu-x di y = 0.</p><p>Misalkan f(x) &nbsp;adalah suku banyak,</p><p>&nbsp;f(x) dibagi dengan (x - a), maka: f(x) = (x - a) ∙ H(x) + S(x)</p><p>Dengan H(x) &nbsp;: hasil pembagian, dan</p><p>&nbsp;S(x) : sisa pembagian</p><p>Teorema sisa suku banyak: misalkan f(x) &nbsp;adalah suku banyak, maka berlaku: &nbsp;f(x) dibagi dengan (x - a), sisanya adalah f(a).</p><p>Jika f(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan f(k) = 0.</p><p>&nbsp;</p><p>Diketahui grafik fungsi kubik y = 2x³ - 7x² - 24x + 45 memotong sumbu X di x₁, x₂ dan x₃.</p><p>Maka grafik tersebut melalui sumbu-x di y = 0.</p><p>Maka:</p><p>y = 0</p><p>2x³ - 7x² - 24x + 45 = 0</p><p>Perhatikan konstantanya yaitu 45. Faktor dari 45 adalah:</p><p>1 dan 45, 5 dan 9, 3 dan 15. Ini adalah kemungkinan faktor-faktornya.</p><p>Ambil x = 1.</p><p>Misalkan f(x) = 2x³ - 7x² - 24x + 45</p><p>Substitusikan x = 1, maka:</p><p>f(1) = 2(1)³ - 7(1)² - 24(1) + 45 = 2 – 7 – 24 + 45 = 16.</p><p>Karena f(1) ≠ 0, maka (x – 1) atau x = 1 bukan faktor dari f(x).</p><p>&nbsp;</p><p>Ambil x = 5, maka:</p><p>f(5) = 2(5)³ - 7(5)² - 24(5) + 45 = 250 – 175 – 120 + 45 = 0.</p><p>Ternyata x = 5 atau (x – 5) adalah faktor dari f(x) karena f(5) = 0</p><p>Gunakan metode horner untuk mendapatkan faktor lain. (perhatikan gambar)</p><p>&nbsp;</p><p>Diperoleh hasil pembagian f(x) oleh (x - 5) adalah: (2x² + 3x – 9).</p><p>&nbsp;2x³ - 7x² - 24x + 45 = 0</p><p>(x – 5)(2x² + 3x – 9) = 0</p><p>Gunakan pemfaktoran:</p><p>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;2x² + 3x – 9 = 0</p><p>&nbsp; &nbsp; 2x² + 6x – 3x – 9 = 0</p><p>2x(x + 3) – 3(x + 3) = 0</p><p>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;(2x – 3)(x + 3) = 0</p><p>&nbsp;</p><p>Sehingga:</p><p>&nbsp; 2x³ - 7x² - 24x + 45 = 0</p><p>&nbsp;(x – 5)(2x² + 3x – 9) = 0</p><p>(x – 5)(2x – 3)(x + 3) = 0</p><p>Maka x – 5 = 0</p><p>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp;x = 5</p><p>atau 2x – 3 = 0</p><p>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; x = 3/2</p><p>atau x + 3 = 0</p><p>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; x = -3</p><p>Diperoleh x₁ &lt; x₂ &lt; x₃ = -3 &lt; 3/2 &lt; 5.</p><p>&nbsp;x₁ = -3, x₂ = 3/2, dan x₃ = 5.</p><p>&nbsp;</p><p>Nilai dari x₁² + x₃² = (-3)² + (5)² = 9 + 25 = 34.</p><p>&nbsp;</p><p>Jadi, jawaban yang benar adalah E.</p>