diketahui segitiga ABC dengan sisi 12 cm. Dalam segitiga itu dibuat persegi panjang dengan alas terletak pada AB dan kedua sudut lainnya terletak pada kaki segitiga tersebut. Segiempat tersebut maksimum dapat dibuat dengan luas...

<p>Diberikan segitiga sama sisi ABCABC dengan sisi AB=BC=AC=12 cmAB = BC = AC = 12 \, \text{cm}. Kita ingin menentukan luas maksimum persegi panjang yang alasnya terletak pada ABAB, dan kedua sudut lainnya berada di kaki segitiga ACAC dan BCBC.</p><p>Langkah-Langkah Penyelesaian:</p><p><strong>Ketinggian Segitiga Sama Sisi:</strong> Tinggi segitiga sama sisi dapat dihitung menggunakan rumus:</p><ol><li>h=32⋅sh = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s</li></ol><p>dengan ss adalah panjang sisi segitiga. Maka:</p><ol><li>h=32⋅12=63 cmh = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \, \text{cm}</li></ol><p><strong>Koordinat Titik-Titik Segitiga:</strong> Misalkan segitiga berada di bidang koordinat:</p><ul><li>A(0,0)A(0, 0)</li><li>B(12,0)B(12, 0)</li><li>C(6,63)C(6, 6\sqrt{3})</li></ul><p><strong>Definisi Persegi Panjang:</strong> Alas persegi panjang berada di ABAB, sehingga titik alas adalah (x1,0)(x_1, 0) dan (x2,0)(x_2, 0) dengan 0≤x1&lt;x2≤120 \leq x_1 &lt; x_2 \leq 12. Kedua sudut atas berada di kaki segitiga ACAC dan BCBC.</p><p><strong>Kondisi Tinggi Persegi Panjang:</strong> Tinggi persegi panjang hph_p adalah jarak vertikal antara alas dan kedua kaki segitiga. Tinggi ini ditentukan oleh garis-garis ACAC dan BCBC:</p><ul><li>Garis AC:y=3xAC: y = \sqrt{3}x</li><li>Garis BC:y=−3(x−12)BC: y = -\sqrt{3}(x - 12)</li></ul><p><strong>Luas Persegi Panjang:</strong> Panjang alas persegi panjang adalah:</p><ol><li>Panjang&nbsp;alas=x2−x1=(12−x1)−x1=12−2x1\text{Panjang alas} = x_2 - x_1 = (12 - x_1) - x_1 = 12 - 2x_1</li></ol><p>Tinggi persegi panjang adalah y=3x1y = \sqrt{3}x_1. Maka, luas persegi panjang adalah:</p><ol><li>L=(panjang&nbsp;alas)×(tinggi)=(12−2x1)⋅(3x1)L = (\text{panjang alas}) \times (\text{tinggi}) = (12 - 2x_1) \cdot (\sqrt{3}x_1) L=3x1(12−2x1)L = \sqrt{3}x_1(12 - 2x_1) L=123x1−23x12L = 12\sqrt{3}x_1 - 2\sqrt{3}x_1^2</li></ol><p><strong>Maksimalkan Luas:</strong> Untuk memaksimalkan LL, turunkan LL terhadap x1x_1 dan setel turunan pertama sama dengan nol:</p><ol><li>dLdx1=123−43x1=0\frac{dL}{dx_1} = 12\sqrt{3} - 4\sqrt{3}x_1 = 0 123=43x112\sqrt{3} = 4\sqrt{3}x_1 x1=3x_1 = 3</li></ol><p><strong>Luas Maksimum:</strong> Substitusi x1=3x_1 = 3 ke persamaan luas:</p><ol><li>L=3⋅3⋅(12−2⋅3)L = \sqrt{3} \cdot 3 \cdot (12 - 2 \cdot 3) L=3⋅3⋅6=183 cm2L = \sqrt{3} \cdot 3 \cdot 6 = 18\sqrt{3} \, \text{cm}^2</li></ol><p>Jawaban:</p><p>Luas maksimum persegi panjang yang dapat dibuat adalah:</p><p>183 cm2\boxed{18\sqrt{3} \, \text{cm}^2}</p>