Diketahui persamaan x⁴ - ax³ + (3a + b )x² - (2a + 5b + c)x + 24 = 0. Akar-akarnya adalah x₁ = 1, x₂ = 2, dan x₃ - x₄ = 1. Tentukan nilai dari a, b, c, x₃, dan x₄.

<p>Jawaban: a=-4, b =5, c=5, x₃=-3 dan x₄ =-4 atau a=10, b =5, c=5, x₃=3 dan x₄ =4</p><p>&nbsp;</p><p>Ingat bahwa!</p><p>Teorema faktor</p><p>Jika (x+k) adalah faktor dari f(x) maka f(-k) = 0&nbsp;</p><p>Jika x₁,x₂, x₃, dan x₄ adalah akar-akar dari ax⁴+bx³ + cx²+dx+e = 0 maka</p><p>x₁+x₂+x₃+x₄ = -b/a</p><p>x₁· x₂· x₃· x₄ = e/a&nbsp;</p><p>&nbsp;</p><p>x⁴ - ax³ + (3a + b )x² - (2a + 5b + c)x + 24 = 0</p><p>(1)⁴ - a(1)³ + (3a + b )(1)² - (2a + 5b + c)1 + 24 = 0</p><p>1-a+3a+b-2a-5b-c+24 = 0</p><p>-4b-c +25 = 0</p><p>c = 25-4b &nbsp;...per 1)</p><p>&nbsp;</p><p>(2)⁴ - a(2)³ + (3a + b )2² - (2a + 5b + c)2 + 24 = 0</p><p>16-8a+12a+4b-4a-10b-2c+24 =0</p><p>-6b-2c +40=0 ...pers 2)</p><p>&nbsp;</p><p>Subtitusikan pers 1 ke pers 2</p><p>-6b-2(25-4b)+40=0</p><p>-6b-50+8b+40=0</p><p>2b-10 = 0</p><p>2b = 10</p><p>b = 5</p><p>c = 25 -4(5)</p><p>c = 25-20</p><p>c = 5&nbsp;</p><p>&nbsp;</p><p>x₃ - x₄ = 1⇒x₃ = 1+x₄&nbsp;</p><p>x₁· x₂· x₃· x₄ = 24</p><p>1· 2· (1+x₄ )· x₄ = 24</p><p>x₄² +x₄ = 12</p><p>x₄² +x₄ - 12 = 0</p><p>(x₄+4)(x₄-3) = 0</p><p>x₄ = -4 atau x₄=3</p><p>Untuk x₄ = -4 maka x₃ = 1+(-4) = -3</p><p>Untuk x₄ = 3 maka x₃ = 1+3 = 4</p><p>&nbsp;</p><ul><li>Untuk &nbsp;x₃ = -3 dan x₄ = -4</li></ul><p>x₁+x₂+x₃+x₄ = a</p><p>1+2+(-3)+(-4) = a</p><p>a = -4</p><ul><li>Untuk &nbsp;x₃ = 3 dan x₄ = 4</li></ul><p>x₁+x₂+x₃+x₄ = a</p><p>1+2+3+4 = a</p><p>a =10</p><p>&nbsp;</p><p>Jadi, a=-4, b =5, c=5, x₃=-3 dan x₄ =-4 atau a=10, b =5, c=5, x₃=3 dan x₄ =4</p>