Diketahui fungsi f(x) = (1−cosx)/(sinx). Turunan kedua fungsi f(x) pada x=π/4 adalah … A. √2+4 B. 2√2-3 C. 2√2+3 D. 3√2-4 E. 3√2+4

Hai, Kania P. Jawabannya adalah D. 3√2 - 4. Turunan umum fungsi aljabar : y = ax^n → y' = n.a.x^(n-1) y = a → y' = 0 Rumus turunan hasil bagi fungsi adalah : y = u/v → y' = (u'.v - u.v')/v² Fungsi turunan pertama dari trigonometri : y = sini x → y' = cos x y = cos x → y' = -sin x Rumus indentitas trigonometri : sin²x + cos²x = 1 1-cos²x = sin²x Nilai dari sudut istimewa pada trigonometri : Sin π/4 = ½√2 Cos π/4 = ½√2 Catatan. (a-b)(a+b) = a²-b² Pembahasan : f(x) = (1 - cos x)/sin x misalkan : u = 1-cos x → u' = 0 - (-sin x) = sin x v = sin x → v' = cos x f'(x) = ((sin x. sin x) - (1-cos x)(cos x)) /(sin x)² f'(x) = (sin ² x - cos x + cos²x) / sin²x f'(x) = (1 - cos x)/sin²x f'(x) = ((1 - cos x)/sin²x) . (1+ cos x)/(1+ cos x) f'(x) = (1 - cos²x) / (sin²x(1+ cos x)) f'(x) = sin²x / (sin²x(1+ cos x) f'(x) = 1 / (1+ cos x) Turunan kedua. Misalkan : u = 1 → u' = 0 v = 1 + cos x → v' = 0 + (-sin x) = - sin x f"(x) = (0.1 - 1.(- sin x)) / (1+ cos x)² f"(x) = sin x / (1+ cos x)² f"(π/4) = sin (π/4) / (1+ cos (π/4)) f"(π/4) = ½√2 / (1+ ½√2)² f"(π/4) = ½√2 / (1 + (2.1.½√2) + ½) f"(π/4) = (½√2 / ( 3/2 + √2)) x (2/2) f"(π/4) = (√2 / (3 + 2√2)) x ((3 - 2√2)/(3 - 2√2)) f"(π/4) = (3√2 - 4) / (9 - 8) f"(π/4) = (3√2 - 4)/1 f"(π/4) = 3√2 - 4 Jadi nilai turunan kedua dari fungsi tersebut pada x = π/4 adalah 3√2 - 4. Oleh karena itu jawaban yang benar adalah D. Terima kasih telah bertanya di Roboguru