Diberikan tiga pernyataan matematis berikut. Buktikan (n⁵-5n⁴+17n³+5n²+6n+24)/(24(n+1)) habis dibagi 2 , untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.

Jawaban : tidak terbukti Pembahasan : Konsep : Menggunakan 3 kali pembuktian sesuai dengan yang dibutuhkan. Menggunakan induksi matematika : Langkah dasar : untuk n = 1 benar (sesuai kebutuhan) Langkah induksi : untuk n = k, dianggap benar, akan dibuktikan untuk n = k+1 bernilai benar --------------------------------- pembuktian (3n² - 3n + 6)/6 habis bagi 2, untuk setiap bilangan asli n ≥ 2. * n = 2 (3(2)² - 3(2) + 6)/6 = (12 - 6 + 6)/6 = 12/6 = 2 (habis dibagi 2) * n = k (3k² - 3k + 6)/6 anggap habis dibagi 2 misal : (3k² - 3k + 6)/6 = 2m * n = k + 1 (3(k+1)² - 3(k+1) + 6)/6 akan dibuktikan habis dibagi 2 (3(k+1)² - 3(k+1) + 6)/6 = (3(k²+2k+1) - 3k-3 + 6)/6 = (3k²+6k+3-3k-3+ 6)/6 = (3k²-3k+6+6k+3-3)/6 = (3k²-3k+6+6k)/6 = (3k²-3k+6)/6+6k/6 = 2m + k karena k belum tentu habis dibagi 2 maka tidak terbukti. --------------------------------- pembuktian (n³ - 3n² + 8n)/6 habis bagi 2, untuk setiap bilangan asli n ≥ 2. * n = 2 ((2)³ - 3(2)² + 8(2))/6 = (8 - 12 + 16)/6 = 12/6 = 2 (habis dibagi 2) * n = k (k³ - 3k² + 8k)/6 anggap habis dibagi 2 misal : (k³ - 3k² + 8k)/6 = 2m * n = k + 1 ((k+1)³ - 3(k+1)² + 8(k+1))/6 akan dibuktikan habis dibagi 2 ((k+1)³ - 3(k+1)² + 8(k+1))/6 = ((k³+3k²+3k+1) - 3(k²+2k+1) + 8(k+1))/6 = (k³+3k²+3k+1 - 3k²-6k-3 + 8k+8)/6 = (k³-3k²+8k+3k²+3k+1-6k-3+8)/6 = (k³-3k²+8k+3k²-3k+6)/6 = (k³-3k²+8k)/6+(3k²-3k+6)/6 = 2m + (3k²-3k+6)/6 karena (3k²-3k+6)/6 tidak habis dibagi 2 maka tidak terbukti. (lihat pembuktian (3n² - 3n + 6)/6 habis bagi 2, untuk setiap bilangan asli n ≥ 2) --------------------------------- pembuktian (n⁴ - 6n³ + 23n² - 18n + 24)/24 habis bagi 2, untuk setiap bilangan asli n ≥ 2. * n = 2 (2⁴ - 6(2)³ + 23(2)² - 18(2) + 24)/24 = (16 - 48 +92 - 36 + 24)/24 = 48/24 = 2 (habis dibagi 2) * n = k (k⁴ - 6k³ + 23k² - 18k + 24)/24 anggap habis dibagi 2 misal : (k⁴ - 6k³ + 23k² - 18k + 24)/24 = 2m * n = k + 1 ((k+1)⁴ - 6(k+1)³ + 23(k+1)² - 18(k+1) + 24)/24 akan dibuktikan habis dibagi 2 ((k+1)⁴ - 6(k+1)³ + 23(k+1)² - 18(k+1) + 24)/24 = ((k⁴+4k³+6k²+4k+1) - 6(k³+3k²+3k+1) + 23(k²+2k+1) - 18(k+1) + 24)/24 = (k⁴+4k³+6k²+4k+1 - 6k³-18k²-18k-6 + 23k²+46k+23 - 18k-18 + 24)/24 = (k⁴-6k³+23k²-18k+24 +4k³+6k²+4k+1-18k²-18k-6+46k+23 -18)/24 = (k⁴-6k³+23k²-18k+24)/24 + (4k³-12k²+32k)/24 = 2m + (k³-3k²+8k)/6 karena (k³-3k²+8k)/6 tidak habis dibagi 2 maka tidak terbukti. (lihat pembuktian (n³ - 3n² + 8n)/6 habis bagi 2, untuk setiap bilangan asli n ≥ 2) --------------------------------- pembuktian (n⁵-5n⁴+17n³+5n²+6n+24)/(24(n+1)) habis dibagi 2 , untuk setiap bilangan asli n ≥ 2. Karena (n⁵-5n⁴+17n³+5n²+6n+24)/(24(n+1)) = (n⁴ - 6n³ + 23n² - 18n + 24)(n+1)/24(n+1) = (n⁴ - 6n³ + 23n² - 18n + 24)/24 maka cukup pembuktian (n⁴ - 6n³ + 23n² - 18n + 24)/24 habis dibagi 2 , untuk setiap bilangan asli n ≥ 2. Karena pembuktian (n⁴ - 6n³ + 23n² - 18n + 24)/24 habis bagi 2, untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 tidak terbukti, (lihat pembuktian (n⁴ - 6n³ + 23n² - 18n + 24)/24 habis dibagi 2 , untuk setiap bilangan asli n ≥ 2) maka (n⁵-5n⁴+17n³+5n²+6n+24)/(24(n+1)) habis dibagi 2 , untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 juga tidak terbukti. --------------------------------- Jadi, (n⁵-5n⁴+17n³+5n²+6n+24)/(24(n+1)) habis dibagi 2 , untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 tidak terbukti.