Diberikan fungsi f(x)=2x³+3x²+6x+5. garis singgung kurva y=f(x)) di titik dengan absis x=a dan x=a+1 saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah ...

Jawaban yang benar adalah 4√(37)/37 Gradien garis singgung kurva y = f(x) dapat dicari dengan menentukan turunan kurva (f'(x)) : m = f'(x) Ingat aturan turunan berikut ini: f(x) = ax^n → f'(x) = n·a·x^(n-1) f(x) = kx → f'(x) = k f(x) = c → f'(x) = 0 Jika dua garis sejajar maka : m₂ = m₁ m₁ : gradien garis pertama m₂ : gradien garis kedua Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dan bergradien m yaitu : y - b = m(x-a) Pembahasan : f(x)=2x³+3x²+6x+5 f'(x) = 3·2x² + 2·3x + 6 + 0 = 6x² + 6x + 6 Gradien di titik dengan absis x = a m₁ = f'(a) = 6a² + 6a + 6 Gradien di titik dengan absis x = a+1 m₂ = f'(a+1) = 6(a+1)² + 6(a+1) + 6 = 6(a²+2a+1) + 6a + 6 + 6 = 6a² + 12a + 6 + 6a + 12 = 6a² + 12a + 6a + 6 + 12 = 6a² + 18a + 18 Karena kedua garis singgung sejajar maka : m₂ = m₁ 6a² + 18a + 18 = 6a² + 6a + 6 6a² - 6a² + 18a - 6a = 6 - 18 12a = -12 a = -12/12 a = -1 Untuk x = a x = -1 y = f(-1) = 2(-1)³+3(-1)²+6(-1)+5 = -2 + 3 - 6 + 5 = 0 Diperoleh titik singgung (-1, 0) Gradien garis singgung : m = 6a² + 6a + 6 = 6·(-1)² + 6(-1) + 6 = 6 - 6 + 6 = 6 Persamaan garis singgung melalui (-1, 0) dengan gradien 6 : y - 0 = 6(x -(-1)) y = 6(x+1) y = 6x + 1 0 = 6x - y + 1 6x - y + 1 = 0 Untuk x = a + 1 x = -1+1 = 0 y = f(0) = 2·0³+3·0²+6·0+5 = 0+0+0+5 = 5 Diperoleh titik singgung (0, 5) Jarak kedua garis singgung adalah jarak titik (0, 5) ke garis 6x - y + 1 = 0 Jarak = |(6·0 - 5 + 1)/√(6²+(-1)²)| = |(-4)/√(36+1)| = 4/√37 = 4√(37)/(√(37)·√(37)) = 4√(37)/37 Jadi jarak kedua garis singgung tersebut adalah 4√(37)/37