Buktikan pernyataan-pernyataan berikut menggunakan induksi matematika. 1. (1x2)+(2x2^(2))+(3x2^(3))+(4x2^(4))+. . .+(n x 2^(n)) =(n-1)2^(n+1)+2 berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Jawaban : terbukti benar. Ada tiga langkah yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau teorema dengan induksi matematika yaitu: 1. Membuktikan bahwa rumus atau teorema tersebut benar untuk n = 1. 2. Mengasumsikan bahwa rumus atau teorema tersebut benar n = k. 3. Membuktikan bahwa rumus atau teorema tersebut benar untuk n = k +1. Pernyataan : (1x2)+(2x2^(2))+(3x2^(3))+(4x2^(4))+. . .+(n x 2^(n)) =(n-1)2^(n+1)+2 berlaku untuk setiap bilangan asli n. 1️⃣ Akan dibuktikan benar untuk n = 1 ▪️ n x 2^(n) = 1 x 2^(1) = 2 ▪️ (n-1)2^(n+1)+2 = (1-1) 2^(1+1) + 2 = 0 x 2^2 + 2 = 0 + 2 = 2 karena 2 = 2, maka pernyataan benar untuk n = 1. 2️⃣ Asumsikan benar untuk n = k (1x2)+(2x2^(2))+(3x2^(3))+(4x2^(4))+. . .+(k x 2^(k)) = (k-1) 2^(k+1)+2 benar 3️⃣ Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1 (1x2)+(2x2^(2))+(3x2^(3))+(4x2^(4))+. . .+(k x 2^(k))+ ((k+1) x 2^(k+1)) =((k+1)-1) 2^((k+1)+1)+2 Ruas kiri (1x2)+(2x2^(2))+(3x2^(3))+(4x2^(4))+. . .+(k x 2^(k))+ ((k+1) x 2^(k+1)) = (k-1) 2^(k+1) +2 + ((k+1) x 2^(k+1)) = (k-1) 2^(k+1) + ((k+1) x 2^(k+1)) + 2 = 2^(k+1)(k - 1 + k + 1) + 2 = 2^(k+1)(2k) + 2 = 2^(k+ 1). 2^(1). k + 2 = 2^(k+1+1)((k+1)-1) + 2 = ((k+1)-1) 2^((k+1)+1) + 2 ---> terbukti benar) Jadi, pernyataan rumus benar.