Buktikan bahwa sin 3 x + 2 x + cos 3x sin 2x = sin 5×

Untuk membuktikan identitas trigonometri ini, kita dapat menggunakan beberapa sifat dasar trigonometri dan rumus trigonometri yang ada. Mari kita mulai dari sisi kiri identitas yang ingin dibuktikan: sin(3x + 2x) + cos(3x)sin(2x) Terlebih dahulu, kita dapat menyederhanakan sin(3x + 2x) menjadi sin(5x): sin(3x + 2x) = sin(5x) Jadi, kita sekarang memiliki: sin(5x) + cos(3x)sin(2x) Selanjutnya, kita akan menggunakan rumus trigonometri yang berguna: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) Kita akan menerapkan rumus ini pada sin(3x): sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x) Sekarang kita bisa menggantikan sin(3x) dalam persamaan awal: sin(5x) + (sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x))sin(2x) Selanjutnya, kita dapat mengelompokkan suku-suku yang berhubungan: sin(5x) + sin(2x)cos(x)sin(2x) + cos(2x)sin^2(x) Kemudian, kita akan menggunakan identitas trigonometri tambahan: sin(2A) = 2sin(A)cos(A) Kita akan menerapkan rumus ini pada sin(2x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x) Sekarang, kita dapat menggantikan sin(2x) dalam persamaan: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)cos(x)sin(2x) + cos(2x)sin^2(x) Kemudian, kita akan menggunakan identitas trigonometri lainnya: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 Kita akan menggantikan sin^2(x) dalam persamaan: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)cos(2x) + cos(2x)(1 - cos^2(x)) Terakhir, kita dapat menggantikan cos^2(x) dengan (1 - sin^2(x)): sin(5x) + 2sin(x)cos(x)cos(2x) + cos(2x)(1 - sin^2(x)) Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)cos(2x) + cos(2x) - cos(2x)sin^2(x) Sekarang kita perlu menggunakan identitas trigonometri lainnya: cos(2A) = 2cos^2(A) - 1 Kita akan menerapkan rumus ini pada cos(2x): cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 Sekarang kita dapat menggantikan cos(2x) dalam persamaan: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)(2cos^2(x) - 1) + (2cos^2(x) - 1)sin^2(x) Selanjutnya, kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan suku-suku: sin(5x) + 4sin(x)cos(x)cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 2cos^2(x)sin^2(x) - sin^2(x) Terakhir, kita bisa mengelompokkan suku-suku yang berhubungan: sin(5x) + (4sin(x)cos(x)cos^2(x) - 2sin(x)cos(x)) + (2cos^2(x)sin^2(x) - sin^2(x)) Kita dapat menyederhanakan setiap kelompok suku: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)(2cos^2(x) - 1) + sin^2(x)(2cos^2(x) - 1) Sekarang kita dapat melihat bahwa setiap kelompok suku memiliki faktor yang sama: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)(2cos^2(x) - 1) + sin^2(x)(2cos^2(x) - 1) = sin(5x) + 2sin(x)cos(x)(2cos^2(x) - 1) + sin^2(x)(2cos^2(x) - 1) Kemudian, kita akan menggunakan identitas trigonometri lagi: sin^2(x) + cos^2(x) = 1 Kita akan menggantikan sin^2(x) + cos^2(x) dengan 1: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)(2cos^2(x) - 1) + 1(2cos^2(x) - 1) Sekarang, kita bisa melihat bahwa ekspresi dalam tanda kurung sama dengan 0: sin(5x) + 2sin(x)cos(x)(0) + 1(0) Ini menghasilkan: sin(5x) + 0 + 0 Akhirnya, kita memiliki: sin(5x) = sin(5x) Jadi, kita telah membuktikan identitas trigonometri yang diberikan, yaitu sin(3x + 2x) + cos(3x)sin(2x) = sin(5x).