Jaybycakes J
11 Mei 2023 16:17
Iklan
Jaybycakes J
11 Mei 2023 16:17
Pertanyaan
buktikan bahwa 13 habis membagi 2^70 + 3^70
2
2
Iklan
KawaiNime A
11 Mei 2023 16:19
<p><br>Untuk membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^70 + 3^70, kita dapat menggunakan teorema Fermat yang menyatakan bahwa jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi oleh p, maka a^(p-1) - 1 habis dibagi oleh p.</p><p>Dalam kasus ini, kita ingin membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^70 + 3^70, yang dapat ditulis sebagai:</p><p>2^70 + 3^70 ≡ 0 (mod 13)</p><p>Kita dapat mengaplikasikan teorema Fermat dengan p = 13 dan a = 2 dan a = 3 sebagai berikut:</p><p>2^12 ≡ 1 (mod 13) karena 2 adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi oleh 13<br>3^12 ≡ 1 (mod 13) karena 3 adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi oleh 13</p><p>Kita dapat menulis ulang 2^70 + 3^70 sebagai berikut:</p><p>2^70 + 3^70 = (2^12)^5 * 2^10 + (3^12)^5 * 3^10</p><p>Karena 2^12 ≡ 1 (mod 13) dan 3^12 ≡ 1 (mod 13), maka kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut menjadi:</p><p>2^70 + 3^70 ≡ 2^10 + 3^10 (mod 13)</p><p>Kita dapat memeriksa bahwa 2^10 ≡ 1 (mod 13) dan 3^10 ≡ 1 (mod 13) dengan menghitung nilai 2^10 dan 3^10 secara berturut-turut:</p><p>2^10 = 1024 ≡ 1 (mod 13)<br>3^10 = 59049 ≡ 1 (mod 13)</p><p>Karena 2^10 ≡ 1 (mod 13) dan 3^10 ≡ 1 (mod 13), maka kita dapat menyimpulkan bahwa:</p><p>2^70 + 3^70 ≡ 2^10 + 3^10 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 13)</p><p>Karena 2 tidak habis dibagi oleh 13, maka kita dapat menyimpulkan bahwa 2^70 + 3^70 tidak habis dibagi oleh 13. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa 13 habis membagi 2^70 + 3^70.</p>
Untuk membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^70 + 3^70, kita dapat menggunakan teorema Fermat yang menyatakan bahwa jika p adalah bilangan prima dan a adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi oleh p, maka a^(p-1) - 1 habis dibagi oleh p.
Dalam kasus ini, kita ingin membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^70 + 3^70, yang dapat ditulis sebagai:
2^70 + 3^70 ≡ 0 (mod 13)
Kita dapat mengaplikasikan teorema Fermat dengan p = 13 dan a = 2 dan a = 3 sebagai berikut:
2^12 ≡ 1 (mod 13) karena 2 adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi oleh 13
3^12 ≡ 1 (mod 13) karena 3 adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi oleh 13
Kita dapat menulis ulang 2^70 + 3^70 sebagai berikut:
2^70 + 3^70 = (2^12)^5 * 2^10 + (3^12)^5 * 3^10
Karena 2^12 ≡ 1 (mod 13) dan 3^12 ≡ 1 (mod 13), maka kita dapat menyederhanakan ekspresi tersebut menjadi:
2^70 + 3^70 ≡ 2^10 + 3^10 (mod 13)
Kita dapat memeriksa bahwa 2^10 ≡ 1 (mod 13) dan 3^10 ≡ 1 (mod 13) dengan menghitung nilai 2^10 dan 3^10 secara berturut-turut:
2^10 = 1024 ≡ 1 (mod 13)
3^10 = 59049 ≡ 1 (mod 13)
Karena 2^10 ≡ 1 (mod 13) dan 3^10 ≡ 1 (mod 13), maka kita dapat menyimpulkan bahwa:
2^70 + 3^70 ≡ 2^10 + 3^10 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 13)
Karena 2 tidak habis dibagi oleh 13, maka kita dapat menyimpulkan bahwa 2^70 + 3^70 tidak habis dibagi oleh 13. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa 13 habis membagi 2^70 + 3^70.
· 0.0 (0)
Iklan
Bima P
11 Mei 2023 17:55
<p>kita akan membuktikan hal ini dengan menggunakan prinsip induksi matematika.</p><p> </p><p>Pertama, kita periksa kasus dasar, yaitu ketika n=1.</p><p>Untuk n=1, 2^1 + 3^1 = 5, yang jelas bukan kelipatan dari 13. Oleh karena itu, hipotesis awal kita adalah bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n hanya untuk n genap.</p><p> </p><p>Mari kita coba n=2. 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13, yang jelas habis dibagi 13. Jadi, hipotesis awal kita tampaknya benar.</p><p> </p><p>Selanjutnya, kita akan membuktikan ini untuk semua n genap. Hipotesis induktif kita adalah bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n untuk n genap.</p><p>Sekarang kita periksa untuk n+2 (yang juga genap), yaitu kita ingin membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^(n+2) + 3^(n+2).</p><p> </p><p>2^(n+2) + 3^(n+2) = 4<i>2^n + 9</i>3^n = 13<i>2^n + 3^n - 13</i>3^n + 2^n = 13*(2^n - 3^n) + (2^n + 3^n)</p><p> </p><p>Kita tahu dari hipotesis induktif kita bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n. Selain itu, 13 juga jelas habis membagi 13*(2^n - 3^n). Oleh karena itu, jika kita menambahkan dua angka yang habis dibagi 13, hasilnya juga harus habis dibagi 13. Jadi, 13 harus habis membagi 2^(n+2) + 3^(n+2).</p><p> </p><p>Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n untuk semua n genap.</p><p> </p><p>Karena 70 adalah bilangan genap, maka 13 harus habis membagi 2^70 + 3^70.</p>
kita akan membuktikan hal ini dengan menggunakan prinsip induksi matematika.
Pertama, kita periksa kasus dasar, yaitu ketika n=1.
Untuk n=1, 2^1 + 3^1 = 5, yang jelas bukan kelipatan dari 13. Oleh karena itu, hipotesis awal kita adalah bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n hanya untuk n genap.
Mari kita coba n=2. 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13, yang jelas habis dibagi 13. Jadi, hipotesis awal kita tampaknya benar.
Selanjutnya, kita akan membuktikan ini untuk semua n genap. Hipotesis induktif kita adalah bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n untuk n genap.
Sekarang kita periksa untuk n+2 (yang juga genap), yaitu kita ingin membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^(n+2) + 3^(n+2).
2^(n+2) + 3^(n+2) = 42^n + 93^n = 132^n + 3^n - 133^n + 2^n = 13*(2^n - 3^n) + (2^n + 3^n)
Kita tahu dari hipotesis induktif kita bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n. Selain itu, 13 juga jelas habis membagi 13*(2^n - 3^n). Oleh karena itu, jika kita menambahkan dua angka yang habis dibagi 13, hasilnya juga harus habis dibagi 13. Jadi, 13 harus habis membagi 2^(n+2) + 3^(n+2).
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa 13 habis membagi 2^n + 3^n untuk semua n genap.
Karena 70 adalah bilangan genap, maka 13 harus habis membagi 2^70 + 3^70.
· 0.0 (0)
Mau jawaban yang terverifikasi?
Tanya ke AiRIS
Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!
LATIHAN SOAL GRATIS!
Drill Soal
Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian
Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!
