Buktikan 1²+3²+5²+...+(2n-1)²=(n(2n-1)(2n+1))/3

Halo Edwin C, kakak bantu jawab yaa :) Jawaban soal tersebut adalah terbukti benar bahwa 1² + 3² + 5² + ... + (2n - 1)² = (n(2n - 1)(2n + 1))/3. Pembahasannya sebagai berikut. Sebelumnya kita ingat dulu langkah pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) menggunakan induksi matematika, yaitu: 1) Basis Induksi, membuktikan n = a benar dengan a adalah bilangan asli terkecil yang berlaku pada pernyataan P(n). 2) Langkah induksi. Misalkan untuk n = k benar (hipotesis induksi), maka akan dibuktikan benar untuk n = k+1. Diketahui: P(n): 1² + 3² + 5² + ... + (2n - 1)² = (n(2n - 1)(2n + 1))/3 1) Basis induksi n = 1, maka P(1): 1² = (1(2.1 - 1)(2.1 + 1))/3 1 = ((2 - 1)(2 + 1))/3 1 = (1.3)/3 1 = 1 (benar) 2) Langkah induksi Misalkan n = k benar, yaitu 1² + 3² + 5² + ... + (2k - 1)² = (k(2k - 1)(2k + 1))/3. Akan dibuktikan n = k + 1 juga benar, yaitu 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = ((k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1))/3. P(k + 1): 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = 1² + 3² + 5² + ... + (2k - 1)² + (2(k + 1) - 1)² 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = (k(2k - 1)(2k + 1))/3 + (2k + 2 - 1)² 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = (k(2k - 1)(2k + 1))/3 + (3(2k + 1)²)/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = (k(2k - 1)(2k + 1) + 3(2k + 1)²)/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = [(2k + 1)(k(2k - 1) + 3(2k + 1))]/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = [(2k + 1)(2k² - k + 6k + 3)]/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = [(2k + 1)(2k² + 5k + 3)]/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = [(2k + 1)(2k + 3)(k + 1)]/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = [(2k + 2 - 1)(2k + 2 + 1)(k + 1)]/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = [(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)(k + 1)]/3 1² + 3² + 5² + ... + (2(k + 1) - 1)² = ((k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1))/3 (benar) Jadi, berdasarkan induksi matematika terbukti bahwa pernyataan P(n): 1² + 3² + 5² + ... + (2n - 1)² = (n(2n - 1)(2n + 1))/3 adalah benar. Semoga membantu yaa :)