Bidang empat beraturan T.ABC mempunyai rusuk a cm. Kosinus sudut antara bidang TBC dan ABC adalah.....

Jawaban yang benar adalah 1/3 Pada segitiga ABC berlaku : cos A = (b² + c² - a²)/2bc a : sisi depan sudut A b : sisi depan sudut B c : sisi depan sudut C Pada segitiga siku-siku berlaku : x² + y² = r² x, y : sisi siku-siku r : sisi miring Pembahasan : Perhatikan bidang empat di bawah ini Misalkan D adalah titik tengah sisi BC. Sudut antara bidang TBC dan bidang alas ABC adalah sudut antara TD dan DA. Karena panjang rusuk bidang empat beraturan T.ABC adalah a cm, maka : TA = a TB = a AB = a BC = a Karena D titik tengah B dan C maka : BD = ½BC = ½a Karena segitiga ABD siku-siku di D, maka : AD² + BD² = AB² AD² + (½a)² = a² AD² + ¼a² = a² AD² = a² – ¼a² AD² = (4/4)a² – ¼a² AD² = ¾a² AD = ±√(¾a²) = ± √(3/4) · √(a²) = ± √(3)/√(4) · a = ± a √(3)/2 = ± ½a√3 Karena panjang sisi segitiga selalu positif, maka : AD = ½a√3 Karena segitiga TBD siku-siku di D, maka : TD² + BD² = AB² TD² + (½a)² = a² TD² + ¼a² = a² TD² = a² – ¼a² TD² = (4/4)a² – ¼a² TD² = ¾a² TD = ±√(¾a²) = ± √(3/4) · √(a²) = ± √(3)/√(4) · a = ± a √(3)/2 = ± ½a√3 Karena panjang sisi segitiga selalu positif, maka : TD = ½a√3 Perhatikan segitiga TDA : cos D = (TD² + AD² – TA²)/(2 · TD · AD) = (¾a² + ¾a² – a²)/(2 · (½a√3) · (½a√3)) = (¾a² + ¾a² – (4/4)a²)/(2 · ½ · ½ · a · a √(3) · √(3)) = ((2/4)a²)/(½ · a² · 3) = (½a²)/((3/2)a²) = ½/(3/2) = 1/2 · 2/3 = 2/6 = 1/3 Jadi kosinus sudut antara bidang TBC dan ABC adalah 1/3