Bantu kak...

Question

<p>Bantu kak </p><p> </p>

H. Endah · Accepted Answer

Jawaban: Terbukti

Konsep:

Langkah pembuktian dengan induksi matematika :
1. Dibuktikan benar untuk n = 1
2. Diasumsikan benar untuk n = k
3. Dibuktikan benar untuk n = k + 1

Pembahasan:

Akan dibuktikan bahwa:

1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2n - 1)(2n + 1)) = n/(2n + 1)

Langkahnya:

1. Dibuktikan benar untuk n = 1

1/((2(1) - 1)(2(1) + 1)) = 1/(2(1) + 1)

1/((1)(3)) = 1/(2 + 1)

1/3 = 1/3

Terbukti karena ruas kiri = ruas kanan.

2. Diasumsikan benar untuk n = k

1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2k - 1)(2k + 1)) = k/(2k + 1)

Pernyataan tersebut dianggap benar.

3. Dibuktikan benar untuk n = k + 1

1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2k - 1)(2k + 1)) + 1/((2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)) = (k + 1)/(2(k + 1) + 1)

⇔ 1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2k - 1)(2k + 1)) + 1/((2k + 2 - 1)(2k + 2 + 1)) = (k + 1)/(2k + 2 + 1)

⇔ 1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2k - 1)(2k + 1)) + 1/((2k + 1)(2k + 3)) = (k + 1)/(2k + 3)

Akan dibuktikan untuk ruas kiri.

1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2k - 1)(2k + 1)) + 1/((2k + 1)(2k + 3))

= [1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2k - 1)(2k + 1))] + 1/((2k + 1)(2k + 3))

= k/(2k + 1) + 1/((2k + 1)(2k + 3))

= (k(2k + 3) + 1)/((2k + 1)(2k + 3))

= (2k² + 3k + 1)/((2k + 1)(2k + 3))

= ((2k + 1)(k + 1))/((2k + 1)(2k + 3))

= (k + 1)/(2k + 3) → Terbukti

Jadi, dengan induksi matematika terbukti bahwa 1/3 + 1/15 + 1/35 + .... + 1/((2n - 1)(2n + 1)) = n/(2n + 1).

Bantu kak