Ajeng mengamati bahwa jumlah semua koefisien dan konstanta P(x) = x^3 + 2x^2 – 13x + 10 sama dengan nol. Oleh karena itu, dia menyimpulkan bahwa x – 1 merupakan salah satu faktor P(x). Buktikan kesimpulan Ajeng tersebut dan gunakan kesimpulan itu untuk memfaktorkan P(x) secara komplet.

Kita akan membuktikan kesimpulan Ajeng bahwa \(x - 1\) adalah faktor dari \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10\). Diketahui bahwa jumlah semua koefisien dan konstanta dari \(P(x)\) sama dengan nol, yaitu: \[1 + 2 - 13 + 10 = 0\] Oleh karena itu, \((x - 1)\) harus menjadi faktor dari \(P(x)\), karena jika kita mengganti \(x\) dengan 1, maka nilai seluruh ekspresi akan sama dengan nol, sesuai dengan Teorema Sisa. Sekarang kita dapat menggunakan faktor \(x - 1\) untuk membagi \(P(x)\) secara komplet. Kita akan melakukan pembagian polinomial: \[ \begin{array}{ll} & x^2 + 3x - 10 \\ (x - 1) | & x^3 + 2x^2 - 13x + 10 \\ & x^3 - x^2 \\ \hline & 3x^2 - 13x \\ & 3x^2 - 3x \\ \hline & -10x + 10 \\ & -10x + 10 \\ \hline & 0 \end{array} \] Hasil dari pembagian adalah \(x^2 + 3x - 10\), yang dapat difaktorkan lebih lanjut sebagai \((x - 1)(x + 5)\). Jadi, kita telah membuktikan bahwa \(x - 1\) adalah faktor dari \(P(x)\), dan faktorisasi komplet dari \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10\) adalah \((x - 1)(x - 1)(x + 5)\) atau lebih sederhananya \((x - 1)^2(x + 5)\).