Laila A

05 Agustus 2024 03:41

Laila A

05 Agustus 2024 03:41

Pertanyaan

2. Diketahui garis y = kx + 1 dan lingkaran L equiv (x - 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 4 . Tentukan syarat k agar garis y tidak memotong lingkaran L!

2. Diketahui garis y = kx + 1 dan lingkaran L equiv (x - 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 4 . Tentukan syarat k agar garis y tidak memotong lingkaran L!

Belajar bareng Champions

Brain Academy Champions

Hanya di Brain Academy

Habis dalam

00

:

03

:

40

:

10

Klaim

291

2

Jawaban terverifikasi

Samudra A

Community

05 Agustus 2024 04:09

Jawaban terverifikasi

<p>kok bisa langsung meyimpulkan klo k itu antara 0 dan 4/3?</p><p>&nbsp;</p><p>Kan kita udah tahu kalau patokan nilai k itu ada 0 dan 4/3, nah biar tahu lebih pasti, kita gampangnya make cara ngetes aja.&nbsp;</p><p>Misal kita pilih untui k = 1 (1 ini kan ada di antara 0 dan 4/3) dan kita cari tahu apakah 1 ini bakal memenuhi D &lt; 0</p><p>3k² - 4k &lt; 0</p><p>3 - 4 &lt; 0 (BENAR)&nbsp;</p><p>wah, krn ternyata 1 ini benar, artinya ia <strong>memenuhi</strong> buat jadi salah satu solusi untuk k, dan karena 1 ini termasuk di dalam geng yg namanya '<strong>Antara 0 dan 4/3</strong>', jadi keseluruhan anggota geng tsb juga pasti memenuhi (lha wong soalnya satu anggotanya bener, pasti semua anggota lain bener).&nbsp;</p><p>Nah klo misalkan ternyata 1 ini <strong>gk memenuhi,</strong> berarti geng 'Antara 0 dan 4/3' ini jelas gk memenuhi semua, dan solusi untuk k adalah geng bernama '<strong>Selain Antara 0 dan 4/3</strong>' (ditulis k&lt;0 dan k&gt;4/3) yang merupakan rival dari geng yg pertama itu.&nbsp;</p><p>&nbsp;</p><p>semoga paham ya wak</p>

kok bisa langsung meyimpulkan klo k itu antara 0 dan 4/3?

 

Kan kita udah tahu kalau patokan nilai k itu ada 0 dan 4/3, nah biar tahu lebih pasti, kita gampangnya make cara ngetes aja. 

Misal kita pilih untui k = 1 (1 ini kan ada di antara 0 dan 4/3) dan kita cari tahu apakah 1 ini bakal memenuhi D < 0

3k² - 4k < 0

3 - 4 < 0 (BENAR) 

wah, krn ternyata 1 ini benar, artinya ia memenuhi buat jadi salah satu solusi untuk k, dan karena 1 ini termasuk di dalam geng yg namanya 'Antara 0 dan 4/3', jadi keseluruhan anggota geng tsb juga pasti memenuhi (lha wong soalnya satu anggotanya bener, pasti semua anggota lain bener). 

Nah klo misalkan ternyata 1 ini gk memenuhi, berarti geng 'Antara 0 dan 4/3' ini jelas gk memenuhi semua, dan solusi untuk k adalah geng bernama 'Selain Antara 0 dan 4/3' (ditulis k<0 dan k>4/3) yang merupakan rival dari geng yg pertama itu. 

 

semoga paham ya wak

alt
alt

Diannisa N

05 Agustus 2024 04:15

Jawaban terverifikasi

<p>Untuk menentukan syarat \( k \) agar garis \( y = kx + 1 \) tidak memotong lingkaran \( L \) yang memiliki persamaan \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4\), kita perlu memastikan bahwa jarak terpendek dari pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jari lingkaran.</p><p>Lingkaran \( L \) memiliki pusat di \((1, -1)\) dan jari-jari \( r = 2 \).</p><p>Pertama, kita hitung jarak dari titik \((1, -1)\) ke garis \( y = kx + 1 \). Persamaan umum garis adalah \( kx - y + 1 = 0 \). Rumus jarak dari titik \((x_1, y_1)\) ke garis \( Ax + By + C = 0 \) adalah:</p><p>\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]</p><p>Dengan \( A = k \), \( B = -1 \), \( C = 1 \), \( x_1 = 1 \), dan \( y_1 = -1 \), kita substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus jarak:</p><p>\[ d = \frac{|k(1) - 1(-1) + 1|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 1 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} \]</p><p>Agar garis tidak memotong lingkaran, jarak \( d \) harus lebih besar dari jari-jari lingkaran, yaitu 2:</p><p>\[ \frac{|k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} &gt; 2 \]</p><p>Kita kuadratkan kedua sisi:</p><p>\[ \frac{(k + 2)^2}{k^2 + 1} &gt; 4 \]</p><p>Lalu kalikan kedua sisi dengan \( k^2 + 1 \):</p><p>\[ (k + 2)^2 &gt; 4(k^2 + 1) \]</p><p>Ekspansi dan penyederhanaan:</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 &gt; 4k^2 + 4 \]</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 &gt; 4k^2 + 4 \]</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 &gt; 4k^2 + 4 \]</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 - 4k^2 - 4 &gt; 0 \]</p><p>\[ -3k^2 + 4k &gt; 0 \]</p><p>\[ k(-3k + 4) &gt; 0 \]</p><p>Solusi dari persamaan di atas adalah:</p><p>1. \( k &gt; 0 \)<br>2. \( -3k + 4 &gt; 0 \) atau \( k &lt; \frac{4}{3} \)</p><p>Gabungan dari kedua syarat tersebut:</p><p>\[ 0 &lt; k &lt; \frac{4}{3} \]</p><p>Jadi, agar garis \( y = kx + 1 \) tidak memotong lingkaran \( L \), nilai \( k \) harus memenuhi syarat:</p><p>\[ 0 &lt; k &lt; \frac{4}{3} \]</p>

Untuk menentukan syarat \( k \) agar garis \( y = kx + 1 \) tidak memotong lingkaran \( L \) yang memiliki persamaan \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4\), kita perlu memastikan bahwa jarak terpendek dari pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jari lingkaran.

Lingkaran \( L \) memiliki pusat di \((1, -1)\) dan jari-jari \( r = 2 \).

Pertama, kita hitung jarak dari titik \((1, -1)\) ke garis \( y = kx + 1 \). Persamaan umum garis adalah \( kx - y + 1 = 0 \). Rumus jarak dari titik \((x_1, y_1)\) ke garis \( Ax + By + C = 0 \) adalah:

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Dengan \( A = k \), \( B = -1 \), \( C = 1 \), \( x_1 = 1 \), dan \( y_1 = -1 \), kita substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus jarak:

\[ d = \frac{|k(1) - 1(-1) + 1|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 1 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} \]

Agar garis tidak memotong lingkaran, jarak \( d \) harus lebih besar dari jari-jari lingkaran, yaitu 2:

\[ \frac{|k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} > 2 \]

Kita kuadratkan kedua sisi:

\[ \frac{(k + 2)^2}{k^2 + 1} > 4 \]

Lalu kalikan kedua sisi dengan \( k^2 + 1 \):

\[ (k + 2)^2 > 4(k^2 + 1) \]

Ekspansi dan penyederhanaan:

\[ k^2 + 4k + 4 > 4k^2 + 4 \]

\[ k^2 + 4k + 4 > 4k^2 + 4 \]

\[ k^2 + 4k + 4 > 4k^2 + 4 \]

\[ k^2 + 4k + 4 - 4k^2 - 4 > 0 \]

\[ -3k^2 + 4k > 0 \]

\[ k(-3k + 4) > 0 \]

Solusi dari persamaan di atas adalah:

1. \( k > 0 \)
2. \( -3k + 4 > 0 \) atau \( k < \frac{4}{3} \)

Gabungan dari kedua syarat tersebut:

\[ 0 < k < \frac{4}{3} \]

Jadi, agar garis \( y = kx + 1 \) tidak memotong lingkaran \( L \), nilai \( k \) harus memenuhi syarat:

\[ 0 < k < \frac{4}{3} \]


Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

lock

Yah, akses pembahasan gratismu habis


atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Tanya ke Forum

Biar Robosquad lain yang jawab soal kamu

Tanya ke Forum

LATIHAN SOAL GRATIS!

Drill Soal

Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian

Cobain Drill Soal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

Pertanyaan serupa

Diketahui nilai p = -4, q= 5,dan r= 2. Tentukan nilai bentuk aljabar berikut 3.1/4 pq² + 12q - 1/8 p³

4

5.0

Jawaban terverifikasi