2. Diketahui garis y = kx + 1 dan lingkaran L equiv (x - 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 4 . Tentukan syarat k agar garis y tidak memotong lingkaran L!

<p>Untuk menentukan syarat \( k \) agar garis \( y = kx + 1 \) tidak memotong lingkaran \( L \) yang memiliki persamaan \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4\), kita perlu memastikan bahwa jarak terpendek dari pusat lingkaran ke garis lebih besar dari jari-jari lingkaran.</p><p>Lingkaran \( L \) memiliki pusat di \((1, -1)\) dan jari-jari \( r = 2 \).</p><p>Pertama, kita hitung jarak dari titik \((1, -1)\) ke garis \( y = kx + 1 \). Persamaan umum garis adalah \( kx - y + 1 = 0 \). Rumus jarak dari titik \((x_1, y_1)\) ke garis \( Ax + By + C = 0 \) adalah:</p><p>\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]</p><p>Dengan \( A = k \), \( B = -1 \), \( C = 1 \), \( x_1 = 1 \), dan \( y_1 = -1 \), kita substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus jarak:</p><p>\[ d = \frac{|k(1) - 1(-1) + 1|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 1 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} \]</p><p>Agar garis tidak memotong lingkaran, jarak \( d \) harus lebih besar dari jari-jari lingkaran, yaitu 2:</p><p>\[ \frac{|k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} &gt; 2 \]</p><p>Kita kuadratkan kedua sisi:</p><p>\[ \frac{(k + 2)^2}{k^2 + 1} &gt; 4 \]</p><p>Lalu kalikan kedua sisi dengan \( k^2 + 1 \):</p><p>\[ (k + 2)^2 &gt; 4(k^2 + 1) \]</p><p>Ekspansi dan penyederhanaan:</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 &gt; 4k^2 + 4 \]</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 &gt; 4k^2 + 4 \]</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 &gt; 4k^2 + 4 \]</p><p>\[ k^2 + 4k + 4 - 4k^2 - 4 &gt; 0 \]</p><p>\[ -3k^2 + 4k &gt; 0 \]</p><p>\[ k(-3k + 4) &gt; 0 \]</p><p>Solusi dari persamaan di atas adalah:</p><p>1. \( k &gt; 0 \)<br>2. \( -3k + 4 &gt; 0 \) atau \( k &lt; \frac{4}{3} \)</p><p>Gabungan dari kedua syarat tersebut:</p><p>\[ 0 &lt; k &lt; \frac{4}{3} \]</p><p>Jadi, agar garis \( y = kx + 1 \) tidak memotong lingkaran \( L \), nilai \( k \) harus memenuhi syarat:</p><p>\[ 0 &lt; k &lt; \frac{4}{3} \]</p>