2 + 2¹+2²+ ...... +2ⁿ=2ⁿ-¹ - 1...

Question

2 + 2¹+2²+ ...... +2ⁿ=2ⁿ-¹ - 1

N. A · Accepted Answer

Sepertinya ada kesalahan penulisan. Mungkin yang dimaksud adalah 2⁰ + 2¹ +2² + ..... + 2ⁿ = 2^{n + 1} - 1, bukan = 2^{n - 1} - 1. Jika demikian, maka ya, pernyataan tersebut benar.

Penjelasan:

p^q × p = p^{q + 1}

p^q ÷ p = p^{q - 1}

2^{a + 1} = 2 × 2a

2^{a - 1} = ½ 2^a.

Ketika kita ambil contoh, misalkan n = 3:

Misalkan kita skala dengan ⅛:

⅛ × 2³ = 1

⅛ × 2² = ½

⅛ × 2¹ = ¼

⅛ × 2⁰ = ⅛

½ + ¼ + ⅛

½ + ¼ = ¾

¾ + ⅛ = ⅞

Jika dilihat, setiap kali kita menambahkan, maka polanya selalu pembilangnya adalah 1 kurang dari penyebutnya. Maka, kita perlu menambahkan 1/penyebutnya lagi agar menjadi 1 utuh.

Maka, kita bisa menskala dengan 8 lagi.

⅛ × 8 = 1

¼ × 8 = 2

½ × 8 = 4

1 + 2 + 4 = 7, kurang 1 untuk menjadi 8.

Jadi, pernyataan 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ ... 2ⁿ = 2^{n + 1} - 1 benar.

A F · Accepted Answer

Kita buktikan 2⁰+2¹+2²+...+2^n = 2^(n-1) - 1

Pertama kita misalkan:
2⁰+2¹+2²+...+2^n = X

Kurangi kedua ruas dengan 2⁰

2¹+2²+...+2^n = X - 2⁰ = X - 1

kedua ruas kita bagi dengan 2¹

2⁰+2¹+...+2^(n-1) = (X-1)/2

Kedua ruas kita tambah 2^n

2⁰+2¹+2²+...+2^(n-1)+2^n = (X-1)/2 + 2^n

Karena 2⁰+2¹+2²+...2^(n-1)+2^n = X maka kita substitusi persamaan sebelumnya

X = (X-1)/2 + 2^n

Kedua ruas kita kali 2¹

2X = X - 1 + 2^(n+1)
<=> X = -1 + 2^(n+1)
<=> X = 2^(n+1) -1

Persamaan X kita ganti ke persamaan awal

2⁰+2¹+2²+...+2^n = X
2⁰+2¹+2²+...+2^n = 2^(n+1) -1

Jadi persamaan yang kita uji terbukti SALAH

2 + 2¹+2²+ ...... +2ⁿ=2ⁿ-¹ - 1

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Pertanyaan serupa