Seorang mahasiswa memiliki uang sebanyak Rp 10.000 dan ia membelanjakan seluruh uangnya untuk membeli dua macam produk yaitu; produk X1 dan Produk X2 dan Harga X1 Rp 200 dan X2 Rp 400 sedangkan utility formasinya:X = 2X1.X2 + 4X2. Pertanyaan: Berapa banyak X1 dan X2 yang bisa diperoleh hingga kepuasanya optimum?

<p><strong>Jawaban </strong>: 24 Unit barang X1 dan 13 Unit Barang X2</p><p>&nbsp;</p><p><strong>Pembahasan </strong>:</p><p>Untuk mencapai kepuasan optimum, mahasiswa perlu memaksimalkan fungsi utilitasnya, yaitu:</p><p>U(X1, X2) = 2x1.X2 + 4x2</p><p>Namun, ada batasan yaitu mahasiswa hanya memiliki Rp 10.000 untuk membeli produk X1 dan X2. Oleh karena itu, kita harus mempertimbangkan batasan anggaran ini.</p><p>Harga X1 = Rp 200<br>Harga X2 = Rp 400<br>Uang yang dimiliki mahasiswa = Rp 10.000</p><p>Kita bisa menyusun batasan anggaran sebagai berikut:</p><p>200X1 + 400X2 ≤ 10.000</p><p>Kemudian, kita akan mencari cara memaksimalkan fungsi utilitas U(X1, X2) dengan batasan anggaran tersebut. Kita dapat menggunakan metode Lagrange untuk mengoptimalkan fungsi utilitas dengan batasan anggaran:</p><p>L(X1, X2, λ) = 2X1X2 + 4X2 - λ(200X1 + 400X2 - 10.000)</p><p>Kemudian kita akan mencari turunan parsial L(X1, X2, λ) terhadap X1, X2, dan λ, lalu menyamakan mereka dengan nol untuk mencari titik maksimum:</p><p>1. ∂L/∂X1 = 2X2 - 200λ = 0<br>2. ∂L/∂X2 = 2X1 + 4 - 400λ = 0<br>3. ∂L/∂λ = 200X1 + 400X2 - 10.000 = 0 (karena ini adalah batasan anggaran)</p><p>Dengan mengatasi sistem persamaan ini, kita dapat menemukan nilai X1, X2, dan λ yang memaksimalkan fungsi utilitas. Pertama-tama, kita dapat menggunakan persamaan (1) untuk mengisolasi λ:</p><p>2X2 - 200λ = 0<br>2X2 = 200λ<br>λ = X2/100</p><p>Selanjutnya, kita dapat menggantikan nilai λ dalam persamaan (2):</p><p>2X1 + 4 - 400λ = 0<br>2X1 + 4 - 400(X2/100) = 0<br>2X1 + 4 - 4X2 = 0</p><p>Kemudian, kita dapat menyusun ulang persamaan ini untuk X1:</p><p>2X1 = 4X2 - 4<br>X1 = 2X2 - 2</p><p>Sekarang kita memiliki dua persamaan, yaitu X1 dan X2 dalam bentuk λ:</p><p>λ = X2/100<br>X1 = 2X2 - 2</p><p>Selanjutnya, kita dapat menggunakan persamaan batasan anggaran (3) untuk mencari nilai X1 dan X2:</p><p>200X1 + 400X2 - 10.000 = 0</p><p>Gantilah X1 dengan 2X2 - 2:</p><p>200(2X2 - 2) + 400X2 - 10.000 = 0</p><p>Kemudian selesaikan persamaan tersebut untuk X2:</p><p>400X2 - 400 + 400X2 - 10.000 = 0</p><p>800X2 - 400 - 10.000 = 0</p><p>800X2 - 10.400 = 0</p><p>800X2 = 10.400</p><p>X2 = 10.400 / 800<br>X2 = 13</p><p>Sekarang kita memiliki nilai X2, yaitu 13. Kita dapat menggantikan nilai X2 ke dalam persamaan X1:</p><p>X1 = 2X2 - 2<br>X1 = 2(13) - 2<br>X1 = 26 - 2<br>X1 = 24</p><p><i><strong>Jadi, mahasiswa dapat mencapai kepuasan optimum dengan membeli 24 unit Produk X1 (X1 = 24) dan 13 unit Produk X2 (X2 = 13).</strong></i></p>