Sebuah benda pejal homogen dari atas ke bawah terdiri atas kerucut dan setengah bola. Sidang alas kerucut berimpit dengan bidang datar setengah bola. Jari-jari bola sama dengan jari-jari kerucut, yaitu 10 cm. Jika terjadi kesetimbangan indiferen (titik berat benda berimpit dengan titik pusat bola), hitung tinggi kerucut!

Question

Jawaban yang benar adalah 10√3 cm.

Diketahui:

Gabungan benda pejal homogen kerucut dan setengah bola.

Bidang alas kerucut berimpit dengan bidang datar setengah bola

R = 10 cm
Terjadi kesetimbangan indiferen (titik berat benda berimpit dengan titik pusat bola)

Ditanya:

Tinggi kerucut = h = ...?

Jawab:

Konsep yang kita pakai adalah titik berat pada bidang tiga dimensi. Koordinat titik berat pada bidang tiga dimensi dapat menggunakan persamaan berikut:

Sumbu-x:

x0 = Σ(xi . Vi) / Σ Vi

Sumbu-y:

y0 = Σ(yi . Vi) / Σ Vi

dengan:

x = titik berat pada sumbu mendatar (m)

y = titik berat pada sumbu tegak (m)

V = volume benda (m³).

Pada soal tersebut ada dua bangun ruang yang diilustrasikan seperti pada foto di bawah. Maka misalkan diberi indeks 1 untuk bangun kerucut dan indeks 2 untuk bangun setengah bola. Tentukan nilai x, y, dan A masing-masing benda.

a). Bangun 1

x1 = 0. (simetris dari garis tengah benda)

y1 = [1/4 . (h)] + R

V1 = 1/3 . 𝞹 . R² . h

b). Bangun 2

x2 = 0. (simetris dari garis tengah benda)

y2 = R - (3/8 R) = 5/8 R

V2 = 1/2 . (4/3 . 𝞹 . R³) = 2/3 . 𝞹 . R³

Maka, titik berat gabungannya adalah:

a). x0 = Σ(xi . Vi) / Σ Vi

x0 = [(x1 . V1) + (x2 . V2)] / (V1 + V2)

x0 = [(0 . 1/3 . (𝞹 . R²) . h) + (0 . 2/3 . 𝞹 . R³)] / (1/3 . (𝞹 . R²) . h + 2/3 . 𝞹 . R³)

x0 = (0 + 0) / (1/3 . (𝞹 . R²) . h + 2/3 . 𝞹 . R³)

x0 = 0 cm.

b). y0 = Σ(yi . Vi) / Σ Vi

y0 = [(y1 . V1) + (y2 . V2)] / (V1 + V2)

y0 = ([({1/4 . h} + R) . 1/3 . 𝞹 . R² . h] + [5/8 R . 2/3 . 𝞹 . R³]) / [(1/3 . 𝞹 . R² . h) + (2/3 . 𝞹 . R³)]

y0 = ([1/12 . 𝞹R²h²] + [1/3 . 𝞹R³h] + [5/12 . 𝞹R⁴]) / [(1/3 . 𝞹R²h) + (2/3 . 𝞹R³)].

Dari soal dikatakan bahwa terjadi kesetimbangan indiferen (titik berat benda berimpit dengan titik pusat bola), maka diperoleh nilai dari y0 = R, yaitu jari-jari setengah bola. Maka dari bentuk akhir y0 di atas dapat diperoleh nilai h yaitu:

y0 = ([1/12 . 𝞹R²h²] + [1/3 . 𝞹R³h] + [5/12 . 𝞹R⁴]) / [(1/3 . 𝞹R²h) + (2/3 . 𝞹R³)]

R = ([1/12 . 𝞹R²h²] + [1/3 . 𝞹R³h] + [5/12 . 𝞹R⁴]) / [(1/3 . 𝞹R²h) + (2/3 . 𝞹R³)]

R × [(1/3 . 𝞹R²h) + (2/3 . 𝞹R³)] = [1/12 . 𝞹R²h²] + [1/3 . 𝞹R³h] + [5/12 . 𝞹R⁴]

(1/3 . 𝞹R³h) + (2/3 . 𝞹R⁴) = [1/12 . 𝞹R²h²] + [1/3 . 𝞹R³h] + [5/12 . 𝞹R⁴] ---> kalikan 12/(𝞹R²)

4Rh + 8R² = h² + 4Rh + 5R²

0 = h² - 3R²

h² = 3R²

h = R√3.

Karena R = 10 cm maka diperoleh:

h = 10√3 cm.

Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 10√3 cm.

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Pertanyaan serupa