Pada suatu bangun segitiga samasisi digambar lingkaran dalam dengan jari-jari r1. Selanjutnya digambar lingkaran kedua dengan jari-jari r2 yang menyinggung lingkaran dalam tersebut dan kedua kaki segitiga, seperti terlihat pada gambar berikut. Perbandingan luas daerah lingkaran kecil dengan lingkaran besar adalah ....

Question

Jawaban yang benar adalah 1 : 9

Konsep :

Luas segitiga = ½at

a : alas segitiga

t : tinggi segitiga

Luas lingkaran = πr²

π : tetapan yang nilainya 22/7 atau 3,14

r : jari-jari lingkaran

Pada segitiga sama sisi dengan panjang sisi a berlaku :

t = ½a√3

Jari-jari lingkaran dalam segitiga :

r = L/s

s = K/2

L : luas segitiga

s : setengah keliling segitiga

K : keliling segitiga

Pembahasan :

Misalkan panjang sisi segitiga tersebut adalah a, maka :

t₁ = ½a√3

L₁ = ½·a·t

= ½ · a · (½a√3)

= ¼ a²√3

K₁ = a + a + a

= 3a

s₁ = K/2

= 3a/2

Jari-jari lingkaran besar :

R = L₁/s₁

= (¼ a²√3)/(3a/2)

= ¼ a²√3 · 2/(3a)

= (1/4) · (2/3) · a²√(3)/a

= (2/12) a√3

= (1/6)a√3

Misalkan terdapat segitiga kecil seperti gambar di bawah ini.

t₂= t₁ – 2R

= (½a√3) – 2·(1/6)a√3

= a√(3) (1/2 – 2/6)

= a√(3) (3/6 – 2/6)

= a√(3) · (1/6)

= (1/6)a√3

Misalkan panjang sisi segitiga adalah p, maka :

½p√3 = t₂

½p√3 = (1/6)a√3 (masing-masing dikali 2)

p√3 = (2/6)a√3

p = (2/6)a√(3)/√(3)

= (2/6)a

= (1/3)a

L₂ = ½ · p · t₂

= ½ · ⅓a · (1/6)a√3

= (1/2) · (1/3) · (1/6) · a · a√3

= (1/36)a²√3

K₂ = (1/3)a + (1/3)a + (1/3)a

= a

s₂ = K₂/2

= a/2

Jari-jari lingkaran kecil :

r = L₂/s₂

= (1/36)a²√(3)/(a/2)

= (1/36)a²√(3) · 2/a

= (2/36)a√3

= (1/18)a√3

Perbandingan luas lingkaran = πr² : πR²

= r²: R²

= ((1/18)a√3)² : ((1/6)a√3)²

= (1/324)a²·3 : (1/36)a²·3 (masing-masing dibagi 3a²)

= (1/324) : (1/36) (masing-masing dikalikan 324)

= 1 : 9

Jadi diperoleh perbandingan jari-jari lingkaran besar dan kecil yaitu 1 : 9

Mau pemahaman lebih dalam untuk soal ini?

Pertanyaan serupa