Mohon bantuannya

<p><strong>Diketahui:</strong></p><p>S(x)<i>S</i>(<i>x</i>) adalah penjumlahan dari digit x.</p><p>Contoh: S(123)=1+2+3=6<i>S</i>(123)=1+2+3=6.</p><p>Ditanya nilai dari:</p><ul><li>∑k=12020S(k)⋅(−1)k<i>k</i>=1∑2020<i>S</i>(<i>k</i>)⋅(−1)<i>k</i></li></ul><h2>Langkah Penyelesaian</h2><h2>1. Memahami Pola</h2><p>Karena ada (−1)k(−1)<i>k</i>, artinya:</p><p>Jika k<i>k</i> <strong>ganjil</strong>, (−1)k=−1(−1)<i>k</i>=−1</p><p>Jika k<i>k</i> <strong>genap</strong>, (−1)k=+1(−1)<i>k</i>=+1</p><p>Jadi, jumlah tersebut bisa ditulis:</p><p>∑k=12020S(k)⋅(−1)k=∑genapS(k)−∑ganjilS(k)<i>k</i>=1∑2020<i>S</i>(<i>k</i>)⋅(−1)<i>k</i>=genap∑<i>S</i>(<i>k</i>)−ganjil∑<i>S</i>(<i>k</i>)</p><p>atau</p><p>∑k=12020S(k)⋅(−1)k=(∑k=2,4,6,…,2020S(k))−(∑k=1,3,5,…,2019S(k))<i>k</i>=1∑2020<i>S</i>(<i>k</i>)⋅(−1)<i>k</i>=<i>k</i>=2,4,6,…,2020∑<i>S</i>(<i>k</i>)−<i>k</i>=1,3,5,…,2019∑<i>S</i>(<i>k</i>)</p><h2>2. Membuat Pasangan (k, k+1)</h2><p>Perhatikan bahwa setiap bilangan ganjil k<i>k</i> diikuti oleh bilangan genap k+1<i>k</i>+1, sehingga:</p><p>S(k+1)−S(k)<i>S</i>(<i>k</i>+1)−<i>S</i>(<i>k</i>)</p><p>Kita bisa kelompokkan:</p><p>∑k=12020S(k)⋅(−1)k=∑n=11010[S(2n)−S(2n−1)]<i>k</i>=1∑2020<i>S</i>(<i>k</i>)⋅(−1)<i>k</i>=<i>n</i>=1∑1010[<i>S</i>(2<i>n</i>)−<i>S</i>(2<i>n</i>−1)]</p><h2>3. Hitung untuk n = 1 sampai 1010</h2><p>2n−12<i>n</i>−1 adalah ganjil (dari 1 sampai 2019)</p><p>2n2<i>n</i> adalah genap (dari 2 sampai 2020)</p><p>Jadi, jumlahnya:</p><p>∑n=11010[S(2n)−S(2n−1)]<i>n</i>=1∑1010[<i>S</i>(2<i>n</i>)−<i>S</i>(2<i>n</i>−1)]</p><h2>4. Analisis Pola S(2n) - S(2n-1)</h2><p>Perhatikan:</p><p>Jika 2n2<i>n</i> tidak berakhir dengan 0, maka S(2n)=S(2n−1)+1<i>S</i>(2<i>n</i>)=<i>S</i>(2<i>n</i>−1)+1 (karena digit satuan bertambah 1)</p><p>Jika 2n2<i>n</i> berakhir dengan 0 (misal 10, 20, 30, ...), maka S(2n)=S(2n−1)−8<i>S</i>(2<i>n</i>)=<i>S</i>(2<i>n</i>−1)−8 (karena, misal dari 19 ke 20: 1+9=10, 2+0=2, selisih -8)</p><h2>5. Hitung Banyaknya Kasus</h2><h2>a. Kasus Normal (tidak berakhir dengan 0)</h2><p>Dari 2 sampai 2020, bilangan genap yang berakhir dengan 0 adalah kelipatan 10: 10, 20, ..., 2020.</p><p>Banyaknya: 202010=202102020=202 bilangan.</p><p>Jadi, dari 1010 pasangan, <strong>202</strong> pasangan berakhir dengan 0, sisanya <strong>808</strong> pasangan normal.</p><h2>b. Total</h2><p>Untuk 808 pasangan: S(2n)−S(2n−1)=1<i>S</i>(2<i>n</i>)−<i>S</i>(2<i>n</i>−1)=1 → total 808×1=808808×1=808</p><p>Untuk 202 pasangan: S(2n)−S(2n−1)=−8<i>S</i>(2<i>n</i>)−<i>S</i>(2<i>n</i>−1)=−8 → total 202×(−8)=−1616202×(−8)=−1616</p><h2>6. Jumlahkan</h2><p>Total=808+(−1616)=−808Total=808+(−1616)=−808</p><h2>Jawaban</h2><p><strong>Nilai dari</strong></p><p>∑k=12020S(k)⋅(−1)k<i>k</i>=1∑2020<i>S</i>(<i>k</i>)⋅(−1)<i>k</i></p><p><strong>adalah</strong></p><p>−808−808</p><p><strong>Jawaban: C. -808</strong></p>