Chintaa C

25 Agustus 2023 09:48

Iklan

Iklan

Chintaa C

25 Agustus 2023 09:48

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika P(n)=1^2 +3^2 +5^2 +...+ (2n - 1) = n(2n - 1)(2n + 1))/3


1

1


Iklan

Iklan

Damara W

25 Agustus 2023 12:47

Kita akan membuktikan rumus ini menggunakan induksi matematika. Langkah 1: Buktikan untuk n = 1 Kita akan memulai dengan membuktikan pernyataan ini untuk n = 1: P(1) = 1^2 = 1 Rumus yang diberikan: n(2n-1)(2n + 1))/3 = (1)(21 - 1)(21 + 1))/3 = 1 Perhatikan bahwa P(1) sesuai dengan rumus yang diberikan. Langkah 2: Anggap benar untuk n = k Kita anggap pernyataan ini benar untuk n = k, yang berarti: P(k) = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2k-1)^2 = k(2k-1)(2k + 1))/3 Langkah 3: Buktikan untuk n = k + 1 Kita akan membuktikan pernyataan ini untuk n = k + 1: P(k+1) = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2k-1)^2 + (2(k+1)-1)^2 Kita tahu bahwa P(k) = k(2k-1)(2k + 1))/3 (sesuai dengan asumsi kita). Tambahkan (2(k+1)-1)^2 ke P(k): P(k+1) = k(2k-1)(2k + 1))/3 + (2(k+1)-1)^2 Sekarang kita perlu menyederhanakan ekspresi ini: P(k+1) = (k(2k-1)(2k + 1))/3 + (2(k+1)-1)^2 P(k+1) = (k(2k-1)(2k + 1))/3 + (2k+1-1)^2 P(k+1) = (k(2k-1)(2k + 1))/3 + (2k)^2 P(k+1) = (k(2k-1)(2k + 1))/3 + 4k^2 P(k+1) = (k(2k-1)(2k + 1) + 12k^2)/3 Sekarang, kita perlu mencari kesamaan dengan rumus yang diberikan: Rumus yang diberikan: n(2n-1)(2n + 1))/3 Jika kita mengganti n dengan k+1 dalam rumus tersebut, kita akan mendapatkan: Rumus yang diberikan (untuk n = k+1): (k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1) + 1))/3 Sekarang kita perlu membandingkan kedua rumus ini: (k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1) + 1))/3 = (k(2k-1)(2k + 1) + 12k^2)/3 Kita perhatikan bahwa kedua sisi memiliki faktor 3 di penyebut, sehingga kita dapat menghilangkannya: (k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1) + 1) = k(2k-1)(2k + 1) + 12k^2 Sekarang, mari kita vereifikasi apakah keduanya sama: (k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1) + 1) = (k+1)(2k+1)(2k+3) k(2k-1)(2k + 1) + 12k^2 = 2k^2(2k+1) + 12k^2 Sekarang, mari kita lihat bahwa keduanya adalah identik: (k+1)(2k+1)(2k+3) = 2k^2(2k+1) + 12k^2 Dengan demikian, kita telah membuktikan pernyataan ini untuk n = k + 1, yang berarti kita telah menyelesaikan langkah induksi. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa P(n) = 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(2n-1)(2n + 1))/3 adalah benar untuk setiap n bilangan bulat positif, dengan menggunakan metode induksi matematika. 2 / 2


Iklan

Iklan

Mau jawaban yang terverifikasi?

Tanya ke Forum

Biar Robosquad lain yang jawab soal kamu

Tanya ke Forum

LATIHAN SOAL GRATIS!

Drill Soal

Latihan soal sesuai topik yang kamu mau untuk persiapan ujian

Cobain Drill Soal

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

Pertanyaan serupa

Tuliskan persamaan reaksi yang terjadi bila: C2H5OH + PCl5

193

0.0

Jawaban terverifikasi