Roboguru

Use mathematical induction to prove:  b. (41​)n<(31​)n   for all natural number n.

Pertanyaan

Use mathematical induction to prove: 

b. open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of n less than open parentheses 1 third close parentheses to the power of n  

for all natural number undefined.

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of 1 end cell less than cell open parentheses 1 third close parentheses to the power of 1 end cell row cell 1 fourth end cell less than cell 1 third end cell end table 

Untuk n equals 1 pernyataan benar.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n equals k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of k less than open parentheses 1 third close parentheses to the power of k 

3. Untuk n equals k plus 1 akan dibuktikan

open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of k plus 1 end exponent less than open parentheses 1 third close parentheses to the power of k plus 1 end exponent 

Maka:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of k end cell less than cell open parentheses 1 third close parentheses to the power of k end cell row cell open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of k. open parentheses 1 fourth close parentheses end cell less than cell open parentheses 1 third close parentheses to the power of k. open parentheses 1 fourth close parentheses end cell row cell open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of k. open parentheses 1 fourth close parentheses end cell less than cell open parentheses 1 third close parentheses to the power of k. open parentheses 1 third close parentheses end cell row cell open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of k plus 1 end exponent end cell less than cell open parentheses 1 third close parentheses to the power of k plus 1 end exponent end cell end table 

Dengan demikian, untuk n anggota bilangan asli berlaku open parentheses 1 fourth close parentheses to the power of n less than open parentheses 1 third close parentheses to the power of n.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Perhatikan pernyataan berikut! Pn​:2n<2n+1 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 2 n less than 2 to the power of n plus 1 end style   

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined    

maka

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 2 open parentheses 1 close parentheses less than 2 to the power of 1 plus 1 end style    

Ruas kiri = 2(1) = 2.

Ruas kanan = 21 + 1 = 2 + 1 = 3.

Karena ruas kiri < ruas kanan, maka P1 benar.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 2 k less than 2 to the power of k plus 1 end style   

bernilai benar

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 2 open parentheses k plus 1 close parentheses less than 2 to the power of k plus 1 end exponent plus 1 end style  

Dari ruas kiri Pk+1

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell 2 k plus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of k plus 1 plus 2 end cell end table end style   

Karena k ≥ 1, maka begin mathsize 14px style 2 to the power of k greater or equal than 2 comma end style   sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of k plus 1 plus 2 end cell row blank less or equal than cell 2 to the power of k plus 1 plus 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of k plus 1 end cell row blank equals cell 2 to the power of k plus 1 end exponent plus 1 end cell end table end style       

Sehingga didapatkan ruas kiri < ruas kanan
Maka, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P1 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

 

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

2

Roboguru

Pernyataan Pn​∶4−2n&lt;2n selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

Pembahasan Soal:

Karena

begin mathsize 14px style straight P subscript straight n blank colon 4 minus 2 straight n less than 2 to the power of straight n end style 

Maka, untuk = 0 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 0 blank colon 4 minus 2 times 0 less than 2 to the power of 0 end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 0 = 4 - 0 = 4  .
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 to the power of 0 equals 1 end style 
Karena ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka begin mathsize 14px style straight P subscript 0 end style bernilai salah.

Selanjutnya, untuk = 1 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 1 blank colon 4 minus 2 times 1 less than 2 to the power of 1 end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 1 = 4 - 2 = 2 
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 to the power of 1 equals 2 end style 
Karena ruas kiri tidak lebih kecil dari ruas kanan, maka undefined bernilai salah.

Selanjutnya, untuk = 2 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 2 blank colon 4 minus 2 times 2 less than 2 squared end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 2 = 4 - 4 = 0
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 squared equals 4 end style 
Karena ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan, maka begin mathsize 14px style straight P subscript 2 end style bernilai benar.

Selanjutnya, untuk = 3 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 3 blank colon 4 minus 2 times 3 less than 2 cubed end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 3 = 4 - 6 = -2 .
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 cubed equals 8 end style 
Karena ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan, maka undefined bernilai benar.

Selanjutnya, untuk = 4 , didapat bahwa

begin mathsize 14px style straight P subscript 1 blank colon 4 minus 2 times 4 less than 2 to the power of 4 end style 

Ruas kiri → 4 - 2 ⋅ 4 = 4 - 8 = -4 .
Ruas kanan → begin mathsize 14px style 2 to the power of 4 equals 16 end style 
Karena ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan, maka undefined bernilai benar.

Sehingga, kemungkinan undefined bernilai benar untuk bilangan bulat ≥ 2 . Oleh karena itu, kita perlu membuktikan untuk sembarang bilangan bulat k  2 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan undefined bernilai benar.

Karena

undefined 

maka

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k blank colon 4 minus 2 straight k less than 2 to the power of straight k end style 

dan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k plus 1 end subscript blank colon 4 minus 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses less than 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end style 

Dari ruas kiri undefined 

begin mathsize 14px style 4 minus 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses equals 4 minus 2 straight k minus 2 less than 2 to the power of straight k minus 2 end style 

Perhatikan bahwa untuk ≥ 2, maka begin mathsize 14px style negative 2 less than 2 to the power of straight k end style sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 minus 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell less than cell 2 to the power of straight k minus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of straight k plus 2 to the power of straight k end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of straight k end cell row blank equals cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell end table end style 

Kita dapatkan undefined bernilai benar.

Karena

  1. undefined benar.
  2. Untuk sembarang bilangan bulat ≥ 2 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan straight P subscript straight k plus 1 end subscript bernilai benar.

Maka, undefined benar untuk setiap bilangan bulat ≥ 2  menurut prinsip induksi matematika.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

0

Roboguru

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut! 1) Jika an+1​=3an​​ dan a1​=1, maka an​4 bernilai benar untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ...

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1 :

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon a subscript n less than 3 end style  

untuk setiap bilangan asli n.

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon a subscript 1 less than 3 end style  

Karena begin mathsize 14px style a subscript 1 equals 1 less than 3 end style, maka P1 benar.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon a subscript k less than 3 end style 

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon a subscript k plus 1 end subscript less than 3 end style 

Perhatikan bahwa karena ak < 3 , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell square root of 3 a subscript k end root end cell row blank less than cell square root of 3 times 3 end root end cell row blank equals cell square root of 9 end cell row blank equals 3 end table end style              

Sehingga ak+1 < 3

Maka, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P1 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

 

Pernyataan 2 :

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon a subscript n greater than 4 end style  

untuk setiap bilangan asli n.

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.  space 

Perhatikan pernyataan

undefined  

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon a subscript 1 greater than 4 end style  

Karena a1 = 8 > 4, maka P1 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined   

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon a subscript k greater than 4 end style  

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon a subscript k plus 1 end subscript greater than 4 end style  

Perhatikan bahwa karena begin mathsize 14px style a subscript k greater than 4 end style, maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell 1 half a subscript k plus 2 end cell row blank greater than cell 1 half open parentheses 4 close parentheses plus 2 end cell row blank equals cell 2 plus 2 end cell row blank equals 4 end table end style    

Sehingga begin mathsize 14px style a subscript k plus 1 end subscript greater than 4 end style.

Maka, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P1 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

 

Dengan demikian, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2).

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

1

Roboguru

Tentukan himpunan bilangan asli untuk n agar pernyataan berikut menjadi benar. 3n≥2n+1

Pembahasan Soal:

Mencari himpunan dengan mensubsitusikan bilangan asli

Untuk n =1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 to the power of 1 end cell greater or equal than cell 2 to the power of 1 plus 1 end exponent end cell row 3 greater or equal than cell 4 rightwards arrow Bukan space merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n =2 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 squared end cell greater or equal than cell 2 to the power of 2 plus 1 end exponent end cell row 9 greater or equal than cell 5 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n =3 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 cubed end cell greater or equal than cell 2 to the power of 3 plus 1 end exponent end cell row 27 greater or equal than cell 16 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n = 4 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 to the power of 4 end cell greater or equal than cell 2 to the power of 4 plus 1 end exponent end cell row 81 greater or equal than cell 32 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n = 5 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 to the power of 5 end cell greater or equal than cell 2 to the power of 5 plus 1 end exponent end cell row 243 greater or equal than cell 64 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Jadi himpunan bilangan asli dari 3 to the power of straight n greater or equal than 2 to the power of straight n plus 1 end exponent adalah straight x greater than 1

0

Roboguru

Buktikan bahwa n2≥2n+1, untuk n≥4.

Pembahasan Soal:

Langkah 1.

Akan dibuktikan begin mathsize 14px style P left parenthesis n right parenthesis end style benar untuk begin mathsize 14px style n equals 4 end style 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 42 greater or equal than cell 2 cross times 4 plus 1 end cell row blank left right double arrow cell 16 greater or equal than 9 end cell end table end style (benar)

Oleh karena bernilai benar, maka begin mathsize 14px style P left parenthesis n right parenthesis end style benar untuk begin mathsize 14px style n equals 4 end style .

Langkah 2.

Andaikan benar untuk begin mathsize 14px style n equals k end style, yaitu begin mathsize 14px style k squared greater or equal than 2 k plus 1 end style, untuk begin mathsize 14px style n greater or equal than 4 end style.

Akan dibuktikan begin mathsize 14px style P left parenthesis n right parenthesis end style benar untuk begin mathsize 14px style n equals k plus 1 end style, yaitu begin mathsize 14px style left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared greater or equal than 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end style 
Bukti:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared end cell equals cell k to the power of 2 end exponent plus 2 k plus 1 end cell row blank greater or equal than cell left parenthesis 2 k plus 1 right parenthesis plus 2 k plus 1 end cell row blank equals cell left parenthesis 2 k plus 2 right parenthesis plus 2 k end cell row blank equals cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 k end cell end table end style 

Untuk k ≥ 4, 2k ≥ 1, maka:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis squared end cell greater or equal than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 k end cell row blank greater or equal than cell 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end cell end table end style  (terbukti)

Dengan demikian terbukti .
Oleh karena Langkah 1 dan Langkah 2 keduanya bernilai benar, maka terbukti bahwa
begin mathsize 14px style n squared greater or equal than 2 n plus 1 end style, untuk begin mathsize 14px style n greater or equal than 4 end style

2

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved