Roboguru

Untuk , buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika.

Pertanyaan

Untuk begin mathsize 14px style n greater than 1 end style, buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika.

begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 plus 1 half plus 1 third plus... plus 1 over n greater than fraction numerator 2 n over denominator n plus 1 end fraction end style

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 2, pernyataan tersebut benar.

1+2123>>2+12(2)34   

Benar untuk n=2.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

1+21+31+...+k1>k+12k 

3. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar. 

 1+21+31+...+k1+k+11k+12k+k+11k+12k+1k+12k+1>>>>(k+1)+12(k+1)(k+1)+12(k+1)(k+1)+12(k+1)k+22k+2   

Benar untuk n=k+1.

Dengan demikian, untuk begin mathsize 14px style n greater than 1 end style, maka pernyataan begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 plus 1 half plus 1 third plus... plus 1 over n greater than fraction numerator 2 n over denominator n plus 1 end fraction end style merupakan pernyataan yang benar.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan bahwa , untuk .

Pembahasan Soal:

P(n) adalah begin mathsize 14px style 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 space plus space x right parenthesis to the power of n end style, untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Langkah 1:
Akan dibuktikan P(n) benar untuk n = 1.

begin mathsize 14px style space space space 1 plus n x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of n space 1 plus left parenthesis 1 right parenthesis x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of 1 space space space space space space space space space space space 1 plus x less or equal than 1 plus x space end style untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Terbukti.

Langkah 2:
Andaikan P(n) benar untuk n = k, yaitu :

 begin mathsize 14px style 1 plus k x less or equal than left parenthesis 1 plus x right parenthesis to the power of k space end style untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

akan dibuktikan P(n) benar untuk n = k + 1, 

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis x end cell less or equal than cell 1 plus k x plus x space end cell row cell space space space space space end cell less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus x end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses x plus 1 close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k open parentheses 1 plus x close parentheses end cell row blank less or equal than cell open parentheses 1 plus x close parentheses to the power of k plus 1 end exponent end cell end table untuk begin mathsize 14px style x greater or equal than negative 1 space end style

Terbukti.

1

Roboguru

Tentukan himpunan bilangan asli untuk  agar pernyataan berikut menjadi benar.

Pembahasan Soal:

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli  diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut:         Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1 :

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of n less than n cubed end style

untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n. end style

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n comma end style yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 comma end style maka langkah pertamanya adalah buktikan undefined bernilai benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold 1 end style bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined

Dengan demikian

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 3 to the power of 1 less than 1 cubed end style

Ruas kiri begin mathsize 14px style equals 3 to the power of 1 equals 3. end style

Ruas kanan begin mathsize 14px style equals 1 cubed equals 1. end style

Karena ruas kiri begin mathsize 14px style greater than end style ruas kanan, maka undefined bernilai salah.

Karena undefined bernilai salah, maka undefined tidak bernilai benar untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n comma end style menurut prinsip induksi matematika.

 

Pernyataan 2 :

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of n greater than open parentheses n plus 1 close parentheses squared end style

untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n. end style

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n comma end style yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 comma end style maka langkah pertamanya adalah buktikan undefined bernilai benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold 1 end style bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

 undefined

Dengan demikian

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 3 to the power of 1 greater than open parentheses 1 plus 1 close parentheses squared end style

Ruas kiri begin mathsize 14px style equals 3 to the power of 1 equals 3. end style

Ruas kanan begin mathsize 14px style open parentheses 1 plus 1 close parentheses squared equals 2 squared equals 4. end style

Karena ruas kiri begin mathsize 14px style less than end style ruas kanan, maka undefined bernilai salah.

Karena undefined bernilai salah, maka undefined tidak bernilai benar untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n comma end style menurut prinsip induksi matematika.

 

Dengan demikian, tidak terdapat pernyataan yang bernilai benar.

Jadi, jawaban yang benar adalah D.

0

Roboguru

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. a.

Pembahasan Soal:

Untuk n = 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 straight n end cell row cell 2 to the power of 1 end cell greater or equal than cell 2.1 end cell row 2 greater or equal than cell 2 rightwards arrow Terbukti space end cell end table

Untuk n = k maka akan diasumsikan terbukti

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 straight n end cell row cell 2 to the power of straight k end cell greater or equal than cell 2. straight k end cell row cell 2 to the power of straight k end cell greater or equal than cell 2 straight k rightwards arrow Terbukti space end cell end table

Akan dibuktikan untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 straight n end cell row cell 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell greater or equal than cell 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis end cell row cell 2 to the power of straight k.2 to the power of 1 end cell greater or equal than cell 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell row cell 2 straight k.2 end cell greater or equal than cell 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell row cell 4 straight k end cell greater or equal than cell 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses end cell row cell 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 2 open parentheses straight k minus 1 close parentheses end cell greater or equal than cell 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis rightwards arrow Terbukti space end cell end table

Jadi terbukti bahwa 2 to the power of straight n greater or equal than 2 straight n karena table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 2 open parentheses straight k minus 1 close parentheses end cell greater or equal than cell 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis space end cell end table

0

Roboguru

Tentukan himpunan bilangan asli untuk n agar pernyataan berikut menjadi benar.

Pembahasan Soal:

Mencari himpunan dengan mensubsitusikan bilangan asli

Untuk n =1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 to the power of 1 end cell greater or equal than cell 2 to the power of 1 plus 1 end exponent end cell row 3 greater or equal than cell 4 rightwards arrow Bukan space merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n =2 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 squared end cell greater or equal than cell 2 to the power of 2 plus 1 end exponent end cell row 9 greater or equal than cell 5 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n =3 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 cubed end cell greater or equal than cell 2 to the power of 3 plus 1 end exponent end cell row 27 greater or equal than cell 16 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n = 4 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 to the power of 4 end cell greater or equal than cell 2 to the power of 4 plus 1 end exponent end cell row 81 greater or equal than cell 32 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Untuk n = 5 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n end cell greater or equal than cell 2 to the power of straight n plus 1 end exponent end cell row cell 3 to the power of 5 end cell greater or equal than cell 2 to the power of 5 plus 1 end exponent end cell row 243 greater or equal than cell 64 rightwards arrow merupakan space himpunan space end cell end table

Jadi himpunan bilangan asli dari 3 to the power of straight n greater or equal than 2 to the power of straight n plus 1 end exponent adalah straight x greater than 1

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved