Pertanyaan

Untuk n > 1 , buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika. P n ≡ 1 + 2 1 + 3 1 + ... + n 1 > n + 1 2 n

Untuk $n > 1$ , buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika.

$P_{n} \equiv 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} > \frac{2 n}{n + 1}$

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

untuk , maka pernyataan merupakan pernyataan yang benar.

untuk

, maka pernyataan $begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 plus 1 half plus 1 third plus... plus 1 over n greater than fraction numerator 2 n over denominator n plus 1 end fraction end style$ merupakan pernyataan yang benar.

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: 1. Buktikan untuk bilangan 2, pernyataan tersebut benar. 1 + 2 1 2 3 > > 2 + 1 2 ( 2 ) 3 4 Benar untuk n = 2 . 2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar. 1 + 2 1 + 3 1 + ... + k 1 > k + 1 2 k 3. Buktikan untuk bilangan asli pernyataan tersebut juga benar. 1 + 2 1 + 3 1 + ... + k 1 + k + 1 1 k + 1 2 k + k + 1 1 k + 1 2 k + 1 k + 1 2 k + 1 > > > > ( k + 1 ) + 1 2 ( k + 1 ) ( k + 1 ) + 1 2 ( k + 1 ) ( k + 1 ) + 1 2 ( k + 1 ) k + 2 2 k + 2 Benar untuk n = k + 1 . Dengan demikian, untuk , maka pernyataan merupakan pernyataan yang benar.

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 2, pernyataan tersebut benar.

$1 + \frac{1}{2} \frac{3}{2} > > \frac{2 ( 2 )}{2 + 1} \frac{4}{3}$

Benar untuk $n = 2$ .

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} > \frac{2 k}{k + 1}$

3. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar.

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} \frac{2 k}{k + 1} + \frac{1}{k + 1} \frac{2 k + 1}{k + 1} \frac{2 k + 1}{k + 1} > > > > \frac{2 ( k + 1 )}{( k + 1 ) + 1} \frac{2 ( k + 1 )}{( k + 1 ) + 1} \frac{2 ( k + 1 )}{( k + 1 ) + 1} \frac{2 k + 2}{k + 2}$

Benar untuk $n = k + 1$ .

Dengan demikian, untuk , maka pernyataan $begin mathsize 14px style P subscript n identical to 1 plus 1 half plus 1 third plus... plus 1 over n greater than fraction numerator 2 n over denominator n plus 1 end fraction end style$ merupakan pernyataan yang benar.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Pernyataan P n : 2 n + 3 < 2 n selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

176

0.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan diketahui barisan bilangan a 1 , a 2 , a 3 , ..., dengan a 1 = 2 , a 2 = 5 , a 3 = 8 , dan a n = a n − 1 + a n − 2 + a n − 3 . Buktikan bahwa a n ≤ 2 n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. b. n ≤ 2 n − 1

0.0

Jawaban terverifikasi

If n is a positive integer and n < t < n + 1 ,show that n + 1 1 < t 1 .

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! 2 n > n 2 untuk setiap bilangan bulat n > 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi