Tunjukkan bahwa untuk t < 2 selalu berlaku: ∫ [ 1 + ( t − 1 ) + ( t − 1 ) 2 + ( t − 1 ) 3 + … + 3 m u ] dt = ln ∣ ∣ ​ 2 − t 1 ​ ∣ ∣ ​ + C

Pembahasan

Perhatikan bahwa [ 1 + ( t − 1 ) + ( t − 1 ) 2 + ( t − 1 ) 3 + … + 3 m u ] merupakan deret geometri tak hingga dengan a = 1 dan r = ( t − 1 ) . Ingat rumus deret geometri tak hingga yaitu: S ∞ ​ = 1 − r a ​ Dengan syarat: ∣ r ∣ < 1 ∣ t − 1 ∣ < 1 − 1 < t − 1 < 1 2 < t < 0 ​ Sehingga diperoleh: S ∞ ​ ​ = = = = ​ 1 − r a ​ 1 − ( t − 1 ) 1 ​ 1 − t + 1 1 ​ 2 − t 1 ​ ​ Maka dapat kita tuliskan sebagai berikut: ∫ [ 1 + ( t − 1 ) + ( t − 1 ) 2 + ( t − 1 ) 3 + … + 3 m u ] dt ​ = = ​ ∫ ​ ( 2 − t 1 ​ ) d t ln ∣ ∣ ​ 2 − t 1 ​ ∣ ∣ ​ + C ​ Syarat numerus logaritma yaitu: 2 − t 1 ​ > 0 dengan pembuat nol 2 − t = 0 → t = 2 . Dengan bantuan garis bilangan diperoleh: Dari garis bilangan diatasdiperoleh t < 2 . Dengan demikian, terbukti bahwauntuk t < 2 selalu berlaku : ∫ [ 1 + ( t − 1 ) + ( t − 1 ) 2 + ( t − 1 ) 3 + … + 3 m u ] dt = ln ∣ ∣ ​ 2 − t 1 ​ ∣ ∣ ​ + C