Roboguru

Tentukan semua nilai  yang membuat  habis membagi .

Pertanyaan

Tentukan semua nilai begin mathsize 14px style n end style yang membuat begin mathsize 14px style 2 to the power of n minus 1 end exponent end style habis membagi begin mathsize 14px style n factorial end style.

Pembahasan Soal:

Tentukan semua nilai begin mathsize 14px style n end style yang membuat begin mathsize 14px style 2 to the power of n minus 1 end exponent end style habis membagi begin mathsize 14px style n factorial end style.

Faktorial hanya dimiliki oleh bilangan bulat 0 dan bilangan bulat positif dengan 0 adalah faktorial terkecil. Dengan metode substitusi, maka kita coba-coba nilai n sebagai berikut:

Dari tabel di atas, terlihat bahwa 2n1 habis dibagi begin mathsize 14px style n factorial end style pada nilai n=1dann=2, karena hasil baginya adalah bilangan bulat.

Dengan demikian, nilai begin mathsize 14px style n end style yang membuat 2n1 habis dibagi begin mathsize 14px style n factorial end style adalah n=1dann=2.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 19 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Perhatikan pernyataan berikut   habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses end style  habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses end style  habis dibagi 7

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses end style  habis dibagi 7

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses equals 1 bullet 2 bullet 3 equals 6. end style 

Karena 6 tidak habis dibagi 7, maka begin mathsize 14px style 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses end style  tidak habis dibagi 7.

Sehingga P1 salah.

Maka, terdapat kesalahan pada langkah pertama.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 7

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end style  habis dibagi 7

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 close parentheses end style  habis dibagi 7

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 right parenthesis end cell equals cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis left parenthesis k plus 3 right parenthesis space end cell row blank equals cell left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis k plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis 3 space end cell row blank equals cell k left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus 3 left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell end table end style  

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style italic k open parentheses italic k plus 1 close parentheses open parentheses italic k plus 2 close parentheses end style  habis dibagi 7.

Namun begin mathsize 14px style 3 open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end style  belum tentu habis dibagi 7.

Maka untuk sembarang bilangan asli k, begin mathsize 14px style k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses plus 3 open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end style  tidak habis dibagi 7

Sehingga begin mathsize 14px style open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 close parentheses end style  tidak habis dibagi 7.

Maka, terdapat kesalahan pada langkah kedua.

Sehingga, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan salah karena terdapat kesalahan pada langkah pertama maupun pada langkah kedua.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan bulat positif , buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut. b.  habis dibagi

Pembahasan Soal:

Langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk pernyataan P subscript n yang memenuhi dua kondisi berikut:

  1. P subscript 1 adalah benar (dibuktikan).
  2. Jika P subscript k dianggap benar untuk setiap bilangan asli k, maka P subscript k plus 1 end subscript harus dibuktikan juga benar.

Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan P subscript n benar untuk setiap bilangan n.

Akan dibuktikan bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style, untuk setiap bilangan bulat positif begin mathsize 14px style n end style.

Dengan menggunakan langkah pembuktian tersebut diperoleh sebagai berikut.

Misalkan P subscript n equals open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared.

Langkah pertama:

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript n end cell equals cell open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row cell P subscript 1 end cell equals cell open curly brackets 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets 1 open parentheses 2 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets 2 close curly brackets squared end cell row blank equals cell 4 space space open parentheses habis space dibagi space 4 close parentheses end cell end table

Diperoleh, P subscript 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style (benar).

Langkah kedua:

Anggap P subscript k benar, yaitu

P subscript k equals open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared space space habis space dibagi space 4

Akan dibuktikan bahwa P subscript k plus 1 end subscript, berarti n equals k plus 1, yaitu P subscript k plus 1 end subscript equals open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses close curly brackets squared habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style.

Perhatikan perhitungan berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared plus 2 times open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets open curly brackets 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets plus open curly brackets 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared plus 4 times k open parentheses k plus 1 close parentheses squared plus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses squared end cell end table

Oleh karena open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared4 k open parentheses k plus 1 close parentheses squared, dan 4 open parentheses k plus 1 close parentheses squared, habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style, maka P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Diperoleh, langkah pertama P subscript 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style (benar), dan langkah kedua P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Dengan demikian, terbukti bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style.

0

Roboguru

Buktikan bahwa untuk  bilangan asli, selalu 52n+2−24n−25 habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

  1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.
  2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.
  3. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar. 

Maka:

Langkah 1: 

Untuk n equals 1, maka

P(1)====52(1)+224(1)255424256252425576  

576 habis dibagi 576, sehingga P subscript n benar untuk n equals 1.

Langkah 2:

Andaikan untuk n equals k pernyataan tersebut benar, maka P(n)=52n+224n25 habis dibagi 576, sehingga:

P(k)=52k+224k25  

Langkah 3:

Untuk n equals k plus 1, maka

P(k+1)========52(k+1)+224(k+1)2552k+2+224k24255252k+224k25242552k+224k25242552k+224k2524576k+576k600+6002552k+2600k625+576k+6002425habisdibagi576(52k+224k25)+576k+57625habisdibagi576(52k+224k25)+habisdibagi576576(k+1)       

Dengan demikian, 52n+224n25 habis dibagi 576 untuk semua bilangan asli n.

0

Roboguru

Untuk n bilangan bulat positif, buktikan kebenaran pernyataan,  habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Dibuktikan dengan menggambil sampel bilangan bulat positif n = 1,2,3

Untuk n = 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 to the power of 1 minus 1 end cell row blank equals cell 3 minus 1 end cell row blank equals cell 2 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Untuk n = 2

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 squared minus 1 end cell row blank equals cell 9 minus 1 end cell row blank equals cell 8 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Untuk n = 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 cubed minus 1 end cell row blank equals cell 27 minus 1 end cell row blank equals cell 26 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Jadi untuk n bilangan bulat positif benar 3 to the power of straight n minus 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 2 end style dari pembuktian sampel bilangan bulat positif seperti 1,2,3.

0

Roboguru

Prove that, if  is positive integer,  is divisible by .

Pembahasan Soal:

Misalkan P subscript n identical to 5 to the power of 2 n end exponent plus 12 to the power of n minus 1 end exponenthabis dibagi 13.

Langkah pembuktian

Langkah pertama:

P subscript 1 identical to 5 to the power of 2.1 end exponent plus 12 to the power of 1 minus 1 end exponent equals 25 plus 1 equals 26 equals 2 space. space 13 habis dibagi 13

Langkah kedua:

Anggap P subscript k identical to 5 to the power of 2 k end exponent plus 12 to the power of k minus 1 end exponent  habis dibagi 13. Akan dibuktikan kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript identical to 5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent plus 12 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent habis dibagi 13.

5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent plus 12 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent equals 5 to the power of 2 k plus 2 end exponent plus 12 to the power of k space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 5 to the power of 2 k end exponent space. space 5 squared plus 12 to the power of k space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 5 to the power of 2 k end exponent space. space 25 plus 12 to the power of k space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 12 space. space 5 to the power of 2 k end exponent plus space 13 space. space 5 to the power of 2 k end exponent plus 12 to the power of k space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 12 space. space 5 to the power of 2 k end exponent plus 12 to the power of k plus space 13 space. space 5 to the power of 2 k end exponent space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 12 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent plus 12 to the power of k over 12 close parentheses plus space 13 space. space 5 to the power of 2 k end exponent space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 12 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent plus 12 to the power of k minus 1 end exponent close parentheses plus space 13 space. space 5 to the power of 2 k end exponent 

perhatikan open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent plus 12 to the power of k minus 1 end exponent close parentheses habis dibagi 13 dan 13 space. space 5 to the power of 2 k end exponent juga habis dibagi 13. Maka, P subscript k plus 1 end subscript identical to 5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent plus 12 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent habis dibagi 13. 

Jadi, terbukti bahwa 5 to the power of 2 n end exponent plus 12 to the power of n minus 1 end exponent habis dibagi 13.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved