Pertanyaan

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 4 = 0 melalui titik ( 0 , − 3 ) .

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran.

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ melalui titik $(0, - 3)$ .

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

didapat persamaan garis singgungnya adalah ( 8 + 19 ) x − 3 y − 9 = 0 atau ( 8 − 19 ) x − 3 y − 9 = 0 .

didapat persamaan garis singgungnya adalah

(8 + 19) x - 3 y - 9 = 0

atau

(8 - 19) x - 3 y - 9 = 0

Pembahasan

Ingat beberapa rumus berikut: Pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 dapat dicari 2 hal yakni: 1 ) Titik pusat lingkaran : ( a , b ) = ( − 2 A , − 2 B ) . 2 ) Jari - jari lingkaran : r = a 2 + b 2 − C . Persamaan garis singgung lingkaran yang di ketahui titik pusat lingkaran ( a , b ) , jari - jari ( r ) dan gradien ( m ) . y − b = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 Persamaan garis yang diketahui gradien ( m ) dan sembarang titik ( x 1 , y 1 ) . y − y 1 = m ( x − x 1 ) dan ingat rumus persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 maka nilai m didapat dengan rumus: x 1 , 2 = 2 a ( − b ) ± b 2 − 4 a c Sehingga, pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 4 = 0 didapat: 1 ) Titik pusat lingkaran : ( a , b ) = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 ( − 4 ) , − 2 ( − 2 ) ) ( 2 , 1 ) 2 ) Jari - jari lingkaran : r = = = = = a 2 + b 2 − C ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 − 4 4 + 1 − 4 1 1 Kemudian, substitusi titik pusat dan jari -jari ke persamaan garis singgung. karena garis singgung melalui ( 0 , − 3 ) . maka kita misalkan ( x , y ) = ( 0 , − 3 ) . y − b ( − 3 ) − 1 − 4 2 m − 4 ( 2 m − 4 ) 2 4 m 2 − 16 m + 16 4 m 2 − 16 m + 16 − m 2 − 1 3 m 2 − 16 m + 15 = = = = = = = = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 m ( ( 0 ) − ( 2 ) ) ± ( 1 ) m 2 + 1 − 2 m ± m 2 + 1 ± m 2 + 1 ( ± m 2 + 1 ) 2 m 2 + 1 0 0 Kita cari nilai m dengan rumus persamaan kuadrat. m 1 , 2 = = = = = = 2 a ( − b ) ± b 2 − 4 a c 2 ( 3 ) − ( − 16 ) ± ( − 16 ) 2 − 4 ( 3 ) ( 15 ) 6 16 ± 256 − 180 6 16 ± 76 6 16 ± 2 19 3 8 ± 19 Jadi didapat persamaan garis singgung: Untuk m = 3 8 + 19 dan titik ( 0 , − 3 ) . y − y 1 y − ( − 3 ) y + 3 3 y + 9 0 ( 8 + 19 ) x − 3 y − 9 = = = = = = m ( x − x 1 ) 3 8 + 19 ( x − 0 ) ( 3 8 + 19 ) x ( 8 + 19 ) x ( 8 + 19 ) x − 3 y − 9 0 Untuk m = 3 8 − 19 dan titik ( 0 , − 3 ) . y − y 1 y − ( − 3 ) y + 3 3 y + 9 0 ( 8 − 19 ) x − 3 y − 9 = = = = = = m ( x − x 1 ) 3 8 − 19 ( x − 0 ) ( 3 8 − 19 ) x ( 8 − 19 ) x ( 8 − 19 ) x − 3 y − 9 0 Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah ( 8 + 19 ) x − 3 y − 9 = 0 atau ( 8 − 19 ) x − 3 y − 9 = 0 .

Ingat beberapa rumus berikut:

Pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ dapat dicari 2 hal yakni:

$1)$ Titik pusat lingkaran : $(a, b) = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ .

$2)$ Jari - jari lingkaran : $r = a^{2} + b^{2} - C$ .

Persamaan garis singgung lingkaran yang di ketahui titik pusat lingkaran $(a, b)$ , jari - jari $(r)$ dan gradien $(m)$ .

$y - b = m (x - a) \pm r m^{2} + 1$

Persamaan garis yang diketahui gradien $(m)$ dan sembarang titik $(x_{1}, y_{1})$ .

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

dan ingat rumus persamaan kuadrat $a x^{2} + b x + c = 0$ maka nilai $m$ didapat dengan rumus:

$x_{1, 2} = \frac{( - b ) \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Sehingga, pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ didapat:

$1)$ Titik pusat lingkaran :

$(a, b) = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{( - 4 )}{2}, - \frac{( - 2 )}{2}) (2, 1)$

$2)$ Jari - jari lingkaran :

$r = = = = = a^{2} + b^{2} - C (2)^{2} + (1)^{2} - 4 4 + 1 - 4 11$

Kemudian, substitusi titik pusat dan jari -jari ke persamaan garis singgung. karena garis singgung melalui $(0, - 3)$ . maka kita misalkan $(x, y) = (0, - 3)$ .

$y - b (- 3) - 1 - 4 2 m - 4 (2 m - 4)^{2} 4 m^{2} - 16 m + 16 4 m^{2} - 16 m + 16 - m^{2} - 1 3 m^{2} - 16 m + 15 = = = = = = = = m (x - a) \pm r m^{2} + 1 m ((0) - (2)) \pm (1) m^{2} + 1 - 2 m \pm m^{2} + 1 \pm m^{2} + 1 (\pm m^{2} + 1)^{2} m^{2} + 1 00$

Kita cari nilai $m$ dengan rumus persamaan kuadrat.

$m_{1, 2} = = = = = = \frac{( - b ) \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( 3 ) ( 15 )}{2 ( 3 )} \frac{16 \pm 256 - 180}{6} \frac{16 \pm 76}{6} \frac{16 \pm 2 19}{6} \frac{8 \pm 19}{3}$

Jadi didapat persamaan garis singgung:

Untuk $m = \frac{8 + 19}{3}$ dan titik $(0, - 3)$ .

$y - y_{1} y - (- 3) y + 3 3 y + 9 0 (8 + 19) x - 3 y - 9 = = = = = = m (x - x_{1}) \frac{8 + 19}{3} (x - 0) (\frac{8 + 19}{3}) x (8 + 19) x (8 + 19) x - 3 y - 9 0$

Untuk $m = \frac{8 - 19}{3}$ dan titik $(0, - 3)$ .

$y - y_{1} y - (- 3) y + 3 3 y + 9 0 (8 - 19) x - 3 y - 9 = = = = = = m (x - x_{1}) \frac{8 - 19}{3} (x - 0) (\frac{8 - 19}{3}) x (8 - 19) x (8 - 19) x - 3 y - 9 0$

Dengan demikian, didapat persamaan garis singgungnya adalah $(8 + 19) x - 3 y - 9 = 0$ atau $(8 - 19) x - 3 y - 9 = 0$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.4 (5 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 20 = 0 melalui titik ( 0 , 0 ) .

4.5

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung dari titik ( 0 , 6 ) pada lingkaran x 2 + y 2 = 25 .

3.2

Jawaban terverifikasi

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 yang melalui titik ( − 1 , 7 ) adalah ...

4.4

Jawaban terverifikasi

Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 1 = 0 yang melalui titik ( 8 , 1 ) di luar lingkaran adalah ....

3.4

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 20 di titik ( 6 , − 2 ) .

4.7

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Bantuan & Panduan

Hubungi Kami

+62 815-7441-0000

[email protected]

02140008000

Ikuti Kami

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran. x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 4 = 0 melalui titik ( 0 , − 3 ) .

Jawaban

didapat persamaan garis singgungnya adalah ( 8 + 19 ​ ) x − 3 y − 9 = 0 atau ( 8 − 19 ​ ) x − 3 y − 9 = 0 .

Pembahasan

Pertanyaan serupa

didapat persamaan garis singgungnya adalah ( 8 + 19 ) x − 3 y − 9 = 0 atau ( 8 − 19 ) x − 3 y − 9 = 0 .