Roboguru

Tentukan nilai minimum dari fungsi f(x,y)=5x+7y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x+3y≥12; x+4y≥8; x≥0; y≥0!

Pertanyaan

Tentukan nilai minimum dari fungsi f(x,y)=5x+7y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x+3y12x+4y8x0y0!

Pembahasan Soal:

Diketahui 2x+3y12x+4y8x0y0 dan fungsi objektif f(x,y)=5x+7y.

Untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif f(x,y)=5x+7y, kita gambar terlebih dahulu daerah penyelesaian dari fungsi kendala seperti berikut:

  • Daerah 2x+3y12.

Untuk menentukan daerah 2x+3y12 kita gambar terlebih dahulu dalam bentuk garis yaitu 2x+3y=12

Titik potong sumbu x, nilai y=0, maka:

2x+3(0)2xx===12126 

Sehingga titik potong sumbu x nya adalah (6,0).

Titik potong sumbu y, nilai x=0.

2(0)+3y0+3y3yy====1212124 

Sehingga titik potong sumbu x nya adalah (0,4).

Kita tarik garis (6,0) dan (0,4) untuk menentukan garis 2x+3y=12.

Untuk menentukan daerah penyelesaiannya, kita uji titik yang berada di bawah garis 2x+3y=12, yaitu (0,0), ingat pada soal 2x+3y12 memiliki tanda , sehingga:

2(0)+3(0)01212(salah) 

Karena menghasilkan pernyataan yang salah, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah di atas garis 2x+3y=12.

  • Daerah x+4y8.

Untuk menentukan daerah x+4y8 kita gambar terlebih dahulu dalam bentuk garis yaitu x+4y=8

Titik potong sumbu x, nilai y=0, maka:

x+4(0)x+0x===888  

Sehingga titik potong sumbu x nya adalah (8,0).

Titik potong sumbu y, nilai x=0.

x+4y0+4y4yy====8882  

Sehingga titik potong sumbu x nya adalah (0,2).

Kita tarik garis (8,0) dan (0,2) untuk menentukan garis x+4y=8.

Untuk menentukan daerah penyelesaiannya, kita uji titik yang berada di bawah garis x+4y=8, yaitu (0,0), ingat pada soal x+4y8 memiliki tanda , sehingga:

(0)+4(0)088(salah)  

Karena menghasilkan pernyataan yang salah, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah di atas garis x+4y=8.

  • Daerah x0.

Daerah x0 adalah daerah yang berada di kanan garis x=0 (sumbu y)

  • Daerah y0.

Daerah y0 adalah daerah yang berada di atas garis y=0 (sumbu x)

Sehingga daerah irisan keempat pertidaksamaan di atas adalah gambar berikut:

  • Menentukan titik potong garis:

Untuk menentukan titik potong garis 2x+3y=12 dan x+4y=8 kita gunakan metode eliminasi sebagai berikut:

2x+3y=12x+4y=8×1×22x+3y=122x+8y=165y=4y=54 

Substitusi y=4/5 ke salah satu persamaan yaitu x+4y=8, sehingga:

x+4(54)x+516xx====888516524 

Sehingga titik potongnya adalah (54,524).

  • Uji titik pojok

Untuk menentukan nilai minimum fungsi f(x,y)=5x+7y, kita uji setiap pojok untuk disubstitusikan ke f(x,y)=5x+7y seperti berikut:

titikpojokf(x,y)(6,0)5(6)+7(0)(54,524)5(54)+7(524)(0,4)5(0)+7(6)====5x+7y30375324 

Nilai minimum adalah nilai terkecil pada uji titik pojok di atas, sehingga nilai minimumnya adalah 24.

Dengan demikian, nilai minimum dari fungsi f(x,y)=5x+7y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x+3y12x+4y8x0y0 adalah 24.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 19 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Nilai maksimum dari fungsi objektif  pada himpunan daerah penyelesaian yang dibatasi sistem pertidaksamaan: ; ; ,  adalah ...

Pembahasan Soal:

Ingat materi program linear untuk menyelesaikan soal.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell less or equal than cell 30 horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses end cell row cell x minus 3 y end cell greater or equal than cell negative 12 horizontal ellipsis left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table

Membuat sketsa grafik dari persamaan (1) dan (2) dengan mencari titik potong-titik potongnya dengan mengubah pertidaksamaan yang ada menjadi sebuah persamaan.

Persamaan (1)

5 x plus 3 y equals 30 titik potong sumbu X, y equals 0

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 x plus 3 left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals 30 row cell 5 x end cell equals 30 row x equals cell 30 over 5 end cell row x equals 6 end table

.Didapat titik potong (6,0)

5 x plus 3 y equals 30 titik potong sumbu Y, x equals 0.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 left parenthesis 0 right parenthesis plus 3 y end cell equals 30 row cell 3 y end cell equals 30 row y equals cell 30 over 3 end cell row y equals 10 end table

Didapat titik potong (0,10)

Persamaan (2)

x minus 3 y equals negative 12 titik potong sumbu X, y equals 0.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell x minus 3 left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals cell negative 12 end cell row x equals cell negative 12 end cell end table

Didapat titik potong (-12,0)

x minus 3 y equals negative 12 titik potong sumbu Y, x equals 0.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell left parenthesis 0 right parenthesis minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell negative 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row y equals cell fraction numerator negative 12 over denominator negative 3 end fraction end cell row y equals 4 end table

Didapat titik potong (0,4)

Persamaan (1) dan (2)

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row x equals cell 3 y minus 12 horizontal ellipsis left parenthesis 3 right parenthesis end cell end table

Substitusi persamaan (3) ke (1)

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 left parenthesis 3 y minus 12 right parenthesis plus 3 y end cell equals 30 row cell 15 y minus 60 plus 3 y end cell equals 30 row cell 15 y plus 3 y end cell equals cell 30 plus 60 end cell row cell 18 y end cell equals 90 row y equals cell 90 over 18 end cell row y equals cell 5 horizontal ellipsis open parentheses 4 close parentheses end cell end table

Substitusi (4) ke (3)

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 3 y minus 12 end cell row blank equals cell 3 left parenthesis 5 right parenthesis minus 12 end cell row blank equals cell 15 minus 12 end cell row blank equals 3 end table

Didapat titik potong (3,5)

Berikut lukisan atau sketsa kedua garis dan titik potongnya beserta titik-titik kritisnya.

Selanjutnya uji titik untuk mendapatkan fungsi objektif maksimumnya berdasarkan titik yang didapat pada gambar.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell 4 x plus 5 y end cell row cell f open parentheses 0 , 10 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 10 close parentheses equals 0 plus 50 equals 50 end cell row cell f open parentheses 0 , 4 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 4 close parentheses equals 0 plus 20 equals 20 end cell row cell f open parentheses 3 , 5 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 3 close parentheses plus 5 open parentheses 5 close parentheses equals 12 plus 25 equals 37 end cell end table

Dari perhitungan di atas didapatkan bahwa fungsi objektif bernilai maksimum pada titik (0,10) dengan hasil 50.

Oleh karena itu, jawaban yang benar tidak ada.

1

Roboguru

Nilai maksimum dari fungsi objektif  pada himpunan daerah penyelesaian yang dibatasi sistem pertidaksamaan:  adalah

Pembahasan Soal:

  • Menentukan titik pojok menggunakan grafik sebagai berikut:

diperoleh titik pojoknya adalah A open parentheses 0 comma space 0 close parentheses comma space B open parentheses 0 comma space 4 close parentheses comma space C open parentheses 3 comma space 5 close parentheses comma D open parentheses 6 comma space 0 close parentheses.

Sedemikian sehingga: dipeorleh nilai dari fungsi objektif:

Titik  Pojok Nilai f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus 5 y
A left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 0
B left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 4 right parenthesis equals 20
C left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 left parenthesis 3 right parenthesis plus 5 left parenthesis 5 right parenthesis equals 12 plus 25 equals 37
D left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 left parenthesis 6 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 24

Diperoleh nilai maksimumnya adalah 37.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

 

0

Roboguru

Sebuah industri rumah tangga dalam sehari memproduksi dua macam kue, yaitu kue jenis I dan kue jenis II. Kue jenis I terbuat dari  tepung dan  mentega. Kue jenis II terbuat dari  tepung dan  mentega. ...

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah optimasi dengan program linear, yaitu:

1. Buat sistem pertidaksamaan linear dari masalah yang ada.

2. Selesaikan sistem pertidaksamaan linear tersebut.

3. Lakukan uji titik yang sesuai di penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dihasilkan.

Model matematika dari permasalahan di atas adalah sebagai berikut.

Misal x banyak kue jenis I dan y banyak kue jenis II.

Dapat ditentukan pertidaksamaan atau fungsi kendala berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 comma 5 x plus 2 comma 5 y end cell less or equal than 150 row cell x plus y end cell less or equal than 60 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 comma 5 x plus 5 y end cell less or equal than 250 row cell x plus 2 y end cell less or equal than 100 end table

x greater or equal than 0 comma space y greater or equal than 0

Asumsi soal: Laba untuk kue jenis II adalah text Rp6.000,00 end text/buah.

Fungsi tujuan: f open parentheses x comma space y close parentheses equals 2.000 x plus 6.000 y

Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.

Grafik:

Titik potong kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

table row cell x plus y end cell equals cell 60 space space end cell row cell x plus 2 y end cell equals cell 100 space minus end cell row cell negative y end cell equals cell negative 40 end cell row y equals 40 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 60 row cell x plus 40 end cell equals 60 row x equals 20 end table

Diperoleh titik potong open parentheses 20 comma space 40 close parentheses

Penentuan nilai maksimum dengan titik pojok adalah sebagai berikut.

Laba maksimum diperoleh apabila memproduksi 50 kue jenis II saja.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

0

Roboguru

Nilai maksimum  yang memenuhi syarat:  dan  adalah ...

Pembahasan Soal:

Diketahui:

x plus 2 y less or equal than 10 x plus y less or equal than 6 x greater or equal than 0 y greater or equal than 0 

Titik potong sumbu dari dua pertidaksamaan x plus 2 y less or equal than 10 space dan space x plus y less or equal than 6.

  • x plus 2 y less or equal than 10

x equals 0 rightwards arrow 0 plus 2 y equals 10 comma space y equals 5 rightwards arrow open parentheses 0 comma 5 close parentheses y equals 0 rightwards arrow x plus 2 open parentheses 0 close parentheses equals 10 comma space x equals 10 rightwards arrow open parentheses 10 comma 0 close parentheses 

  • x plus y less or equal than 6

x equals 0 rightwards arrow 0 plus y equals 6 comma space y equals 6 rightwards arrow open parentheses 0 comma 6 close parentheses y equals 0 rightwards arrow x plus 0 equals 6 comma space x equals 6 rightwards arrow open parentheses 6 comma 0 close parentheses 

Titik potong garis x plus 2 y equals 10 space dan space x plus y equals 6.

Eliminasi persamaan x plus 2 y equals 10 space dan space x plus y equals 6.

x plus 2 y equals 10 bottom enclose space space x plus y equals 6 space space end enclose space minus space space space space space space space y equals 4

Substitusi nilai y equals 4 ke persamaan x plus y equals 6.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 6 row cell x plus 4 end cell equals 6 row x equals cell 6 minus 4 end cell row x equals 2 end table 

Maka titik potong garis x plus 2 y equals 10 space dan space x plus y equals 6 adalah open parentheses 2 comma 4 close parentheses.

Titik pojok dari pertidaksamaan x plus 2 y less or equal than 10 space dan space x plus y less or equal than 6 adalah open parentheses 6 comma 0 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 5 close parentheses space dan space open parentheses 2 comma 4 close parentheses.

Nilai maksimum z equals 3 x plus 5 y:

open parentheses 6 comma 0 close parentheses equals 3 open parentheses 6 close parentheses plus 5 open parentheses 0 close parentheses equals 18 open parentheses 0 comma 5 close parentheses equals 3 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 5 close parentheses equals 25 open parentheses 2 comma 4 close parentheses equals 3 open parentheses 2 close parentheses plus 5 open parentheses 4 close parentheses equals 6 plus 20 equals 26

Sehingga, nilai maksimum dari z equals 3 x plus 5 y adalah 26.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

0

Roboguru

Nilai maksimum dari fungsi objektif  pada himpunan daerah penyelesaian yang dibatasi sistem pertidaksamaan:  adalah

Pembahasan Soal:

  • Menentukan daerah penyelesaian dan titik pojok.

diperoleh: 

A left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis space B left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis D left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis

Menentukan titik C:

  • Eliminasi garis yang berpotongan: 

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row x minus 3 y equals negative 12 none end row row 5 x plus 3 y equals 30 none minus end row horizontal line row 6 x equals 18 none none end row row x equals 3 none none none end row end stack space

  • Subtitusi x equals 3 ke persamaan x minus 3 y equals negative 12

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell 3 minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell negative 3 y end cell equals cell negative 15 end cell row y equals 5 end table

diperoleh titik D left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis

  • Menentukan nilai maksimum dari fungsi objektif f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus 5 y
Titik Pojok f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus 5 y
A left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 0
B left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis f left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 4 right parenthesis equals 20
C left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis f left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis equals 4 left parenthesis 6 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 24
D left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis f left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis equals 4 left parenthesis 3 right parenthesis plus 5 left parenthesis 5 right parenthesis equals 12 plus 25 equals 37


Jadi, nilai maksimumnya adalah 37.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved