Roboguru

Tentukan nilai maksimum  yang mememnuhi

Pertanyaan

Tentukan nilai maksimum z open parentheses x comma y close parentheses equals 5 x plus 3 y yang mememnuhi 2 x plus y less or equal than 14 comma space x plus y less or equal than 8 comma space x plus 2 y less or equal than 12. space x greater or equal than 0 comma space y greater or equal than 0

Pembahasan Soal:

Diketahui sistem pertidaksamaan linier

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x plus y end cell less or equal than 14 row cell space x plus y end cell less or equal than 8 row cell x plus 2 y end cell less or equal than 12 row x greater or equal than 0 row y greater or equal than 0 end table

Titik potong masing-masing pertidaksamaan dengan sumbu koordinat



 

Titik potong garis x plus y equals 8 dan x plus 2 y equals 12 dapat ditentukan dengan metode eliminasi-subtitusi berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell table row x plus y equals 8 blank row x plus cell 2 y end cell equals 12 minus row blank blank cell negative y end cell equals cell negative 4 end cell blank row blank blank y equals 4 blank end table end cell row cell x plus 4 end cell equals 8 row x equals 4 end table

Titik potong garis x plus y equals 8 dan 2 x plus y equals 14 dengan metode eliminasi-subtitusi berikut

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell table row x plus y equals 8 blank row cell 2 x end cell plus y equals 14 minus row cell negative x end cell blank blank equals cell negative 6 end cell blank row x blank blank equals 6 blank end table end cell row cell 6 plus y end cell equals 8 row y equals 2 end table

Daerah himpunan penyelesaian

Penentuan nilai optimum dengan metode uji titik pojok

z open parentheses x comma y close parentheses equals 5 x plus 3 y z open parentheses 0 comma 6 close parentheses equals 5 times 0 plus 3 open parentheses 6 close parentheses equals 18 z open parentheses 4 comma 4 close parentheses equals 5 times 4 plus 3 times 4 equals 32 z open parentheses 6 comma 2 close parentheses equals 5 times 6 plus 3 times 2 equals 36 z open parentheses 7 comma 0 close parentheses equals 5 times 7 plus 3 times 0 equals 35

Dengan demikian nilai maksimunya adalah 36

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Roy

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Terakhir diupdate 13 Agustus 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Fungsi  yang didefinisikan pada daerah yang diarsir, mencapai maksimum pada ...

Pembahasan Soal:

Pertama, kita harus menentukan persamaan setiap garis dan koordinat titik-titik pojok yang berada di daerah himpunan penyelesaian. Untuk membantu, perhatikan gambar berikut.



Ingat, untuk membentuk persamaan garis lurus yang diketahui titik potong dengan sumbu Y open parentheses 0 comma space straight a close parentheses dan sumbu X open parentheses straight b comma space 0 close parentheses adalah straight a x plus straight b y equals straight a times straight b. Maka diperoleh:

Persamaan garis 1 adalah 2 x plus 4 y equals 8 yang disederhanakan menjadi x plus 2 y equals 4.

Persamaan garis 2 adalah 4 x plus 4 y equals 16 yang disederhanakan menjadi x plus y equals 4.

Persamaan garis 3 adalah negative 2 x plus y equals negative 2.

Persamaan garis 4 adalah 2 x minus 2 y equals negative 4yang disederhanakan menjadi x minus y equals negative 2.

Sedangkan titik pojoknya (titik potongnya) dapat dicari dengan melakukan subsitusi dan eliminasi.

Titik A merupakan titik straight A left parenthesis 0 comma space 2 right parenthesis.

Titik B didapatkan dari perpotongan antara garis x plus y equals 4 dan garis x minus y equals negative 2.


up diagonal strike x plus y equals 4 bottom enclose up diagonal strike x minus y equals negative 2 space space minus end enclose space space space space 2 y equals 6 space space space space space space y equals 3 space space space space space space x equals 1


Diperoleh titik straight B left parenthesis 1 comma space 3 right parenthesis.

Titik C didapatkan dari perpotongan antara garis x plus y equals 4 dan garis negative 2 x plus y equals negative 2.


space space space space space x plus up diagonal strike y equals 4 bottom enclose negative 2 x plus up diagonal strike y equals negative 2 space space space minus end enclose space space space space space space space space 3 x equals 6 space space space space space space space space space space x equals 2 space space space space space space space space space space y equals 2


Diperoleh titik straight C left parenthesis 2 comma space 2 right parenthesis.

Titik D didapatkan dari perpotongan antara garis x plus 2 y equals 4 dan garis negative 2 x plus y equals negative 2.


space space space space x plus 2 y equals 4 space space space space vertical line cross times 1 vertical line space space space space space x plus up diagonal strike 2 y end strike equals 4 minus 2 x plus y equals negative 2 space vertical line cross times 2 vertical line bottom enclose negative 4 x plus up diagonal strike 2 y end strike equals negative 4 space space minus end enclose space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 5 x equals 8 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space x equals 8 over 5 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space y equals 6 over 5


Diperoleh titik straight D open parentheses 8 over 5 comma space 6 over 5 close parentheses.

Selanjutnya, kita cari titik maksimum dengan uji titik pojok.



Jadi, nilai maksimumnya tercapai pada open curly brackets left parenthesis x comma space y right parenthesis vertical line x equals 1 comma space y equals 3 close curly brackets dan open curly brackets left parenthesis x comma space y right parenthesis vertical line x equals 2 comma space y equals 2 close curly brackets.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Roboguru

Nilai maksimum dari  yang memenuhi sistem pertidaksamaan , , , dan  adalah ...

Pembahasan Soal:

Untuk menentukan nilai optimum dengan metode titik pojok, gunakan langkah-langkah berikut.

1. Buatlah gambar persamaan garisnya dengan menghubungkan titik-titik open parentheses x comma space 0 close parentheses dan open parentheses y comma space 0 close parentheses

2. Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dengan uji titik.

3. Tentukan titik pojok dari DHP.

4. Substitusi titik pojok ke fungsi tujuan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum.

Gambar DHP sistem pertidaksamaan pada soal dapat ditentukan sebagai berikut.

Menentukan titik potong dari setiap persamaan.

Gambar DHP dengan uji titik.

Titik potong kedua garis dapat ditentukan sebagai berikut.

table row cell 2 x plus y end cell equals cell 4 space space space space end cell row cell x plus y end cell equals cell 3 space minus end cell row x equals 1 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 3 row cell 1 plus y end cell equals 3 row y equals 2 end table

Diperoleh titik potong open parentheses 1 comma space 2 close parentheses

Penentuan nilai maksimum dengan uji titik pojok

Diperoleh nilai maksimum 14.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Roboguru

Jika  terletak pada daerah yang dibatasi oleh , , dan , maka nilai terbesar dari  adalah ...

Pembahasan Soal:

Perhatikan persamaan y plus 1 less or equal than x less or equal than 2 minus y. Persamaan ini dapat kita bagi menjadi 2 persamaan, yaitu:


y plus 1 less or equal than x left right arrow y minus x less or equal than negative 1


dan


x less or equal than 2 minus y left right arrow x plus y less or equal than 2


Maka, pertama, kita gambarkan garis y minus x equals 1dan x plus y equals 2 dengan menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y setiap persamaan garis. Berikut tabel titik potongnya.



Langkah kedua adalah menggambar DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dari y minus x less or equal than negative 1x plus y less or equal than 2  x greater or equal than 0, dan y greater or equal than 0 dengan uji titik.



Langkah ketiga adalah menentukan titik potong B yang merupakan titik potong antara garis y minus x equals 1dan x plus y equals 2.


negative x plus up diagonal strike y equals 1 bottom enclose space space space x plus up diagonal strike y equals 2 space space space minus end enclose space space space minus 2 x equals negative 1 space space space space space space space space space x equals 1 half space space space space space space space space space y equals 1 1 half


Diperoleh titik straight B open parentheses 1 half comma space 1 1 half close parentheses.

Langkah berikutnya adalah menentukan nilai maksimum dengan uji titik pojok. Tang diminta adalah mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan z equals 2 x plus y.



Jadi, nilai maksimumnya adalah 4.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Roboguru

Nilai maksimum  dengan syarat , ,  dan  adalah ...

Pembahasan Soal:

Pertama, kita gambarkan garis x plus 2 y equals 10 dan x plus y equals 7 dengan menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y setiap persamaan garis. Berikut tabel titik potongnya.



Langkah kedua adalah menggambar DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dengan uji titik.



Langkah ketiga adalah menentukan titik potong B.


up diagonal strike x plus 2 y equals 10 bottom enclose space space up diagonal strike x plus y equals 7 space space space minus end enclose space space space space space space space space y equals 3 space space space space space space space space x equals 4


Diperoleh titik straight B left parenthesis 4 comma space 3 right parenthesis.

Langkah berikutnya adalah menentukan nilai maksimum dengan uji titik pojok.



Jadi, nilai maksimumnya adalah 31.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Roboguru

Nilai maksimum dari fungsi objektif  dengan syarat , , , ,  adalah ...

Pembahasan Soal:

Diketahui:

  • f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus y
  • 2 x plus y greater than 4
  • x plus y less than 10
  • 3 y minus 2 x less than 12
  • x greater than 0
  • y greater than 0

Ditanya: Nilai maksimum dari fungsi objektif f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus y?

Jawab:

Ingat bahwa untuk menentukan nilai fungsi objektif maka harus menentukan titik ekstrim berdsasrkan DHP dari SPtLDV dengan menentukan garis pembatas dari Pt yang diketahui dengan mengubahnya ke bentuk persamaan kemudian menentukan DHP berdasarkan syarat-syarat yang ada.

Lukisan DHP dari kedua garis pembatas 2 x plus y equals 4x plus y equals 10, dan 3 y minus 2 x equals 12 dilakukan dengan melihat perpotongan garis itu terhadap sumbu koordinat kartesius.

  • Menentukan titik potong garis 2 x plus y equals 4

  • Menentukan titik potong garis x plus y equals 10

  • Menentukan titik potong garis 3 y minus 2 x equals 12

Menentukan DHP

  • Untuk 2 x plus y greater than 4 karena nilai y positif dengan tanda Pt greater than maka DHP ada di atas garis blank 2 x plus y equals 4
  • Untuk x plus y less than 10 karena nilai y positif dengan tanda Pt less than maka DHP ada di bawah garis x plus y equals 10
  • Untuk 3 y minus 2 x less than 12 arena nilai y positif dengan tanda Pt less thanmaka DHP ada di bawah garis 3 y minus 2 x equals 12
  • Untuk x greater or equal than 0 maka DHP ada di kanan sumbu Y
  • Untuk y greater or equal than 0 maka DHP ada di atas sumbu X

Dari hasil-hasil di atas maka dapat dibuat lukisan DHP dari SPtLDV sebagai berikut.

Menentukan perpotongan garis x plus y equals 10 atau x equals 10 minus y dan garis 3 y minus 2 x equals 12

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 y minus 2 x end cell equals 12 row cell 3 y minus 2 open parentheses 10 minus y close parentheses end cell equals 12 row cell 3 y minus 20 plus 2 y end cell equals 12 row cell 3 y plus 2 y minus 20 end cell equals 12 row cell 5 y minus 20 end cell equals 12 row cell 5 y end cell equals cell 12 plus 20 end cell row cell 5 y end cell equals 32 row y equals cell 32 over 5 horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses end cell row blank blank blank end table

Substitusi (1) ke x equals 10 minus y

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 10 minus y end cell row blank equals cell 10 minus 32 over 5 end cell row blank equals cell 50 over 5 minus 32 over 5 end cell row blank equals cell 18 over 5 end cell end table

Didapatkan titik open parentheses 18 over 5 comma 32 over 5 close parentheses

Menentukan titik ekstrim berdasarkan DHP di atas

  • Titik straight A open parentheses 0 , 4 close parentheses perpotongan garis 3 y minus 2 x equals 12 dan sumbu straight Y
  • Titik straight B open parentheses 2 , 0 close parentheses perpotongan garis blank 2 x plus y equals 4 dan sumbu straight X
  • Titik straight C open parentheses 10 , 0 close parentheses perpotongan garis x plus y equals 10 dan sumbu straight X
  • Titik straight D open parentheses 18 over 5 comma 32 over 5 close parentheses perpotongan garis x plus y equals 10 dan garis 3 y minus 2 x equals 12

Menentukan nilai maksimum

Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dari fungsi f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus y adalah  20.

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved