Tentukan nilai maksimum untuk fungsi: ,pada interval -

Pertanyaan

Tentukan nilai maksimum untuk fungsi: $f left parenthesis x right parenthesis equals 3 x squared – space 2 x cubed$ ,pada interval $– space 1 less or equal than space x space less or equal than space 2$
-

Pembahasan Soal:

Jika mencari nilai maksimum, maka $f left parenthesis x right parenthesis equals 0$ . Cari turunan pertama,

$fraction numerator d f over denominator d x end fraction x to the power of n equals n times x to the power of n minus 1 end exponent$

Maka,

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 x squared – space 2 x cubed end cell equals 0 row cell 2 times 3 x to the power of 2 minus 1 end exponent minus 3 times 2 x to the power of 3 minus 1 end exponent end cell equals 0 row cell 6 x minus 6 x squared end cell equals 0 row cell 6 x left parenthesis 1 minus x right parenthesis end cell equals 0 row blank blank blank row cell 6 x end cell equals 0 row x equals 0 row blank blank blank row cell 1 minus x end cell equals 0 row x equals 1 end table$

Jika nilai $x$ negatif maka akan menghasilkan nilai maksimum maka $x equals 0$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals cell 3 left parenthesis 0 right parenthesis squared minus 2 left parenthesis 0 right parenthesis cubed equals 0 end cell end table$

Jadi, nilai maksimum untuk fungsi: $f left parenthesis x right parenthesis equals 3 x squared – space 2 x cubed$ ,pada interval $– space 1 less or equal than space x space less or equal than space 2$ adalah $0$ .

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

G. Albiah

Mahasiswa/Alumni Universitas Galuh Ciamis

Terakhir diupdate 05 Juni 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Sebuah karton berbentuk segi empat seperti gambar diatas, tentukan volume maksimum jika kertas persegi tersebut dibuat kotak tanpa tutup dengan cara mengunting empat persegi dengan ukuran x cm disetia...

Pembahasan Soal:

Langkah pertama kita tentukan ukuran kotak

Jika sisi persegi yang dipotong dimisalkan $x$ cm, maka:

Panjang = $left parenthesis 24 minus 2 x right parenthesis space cm$

Lebar = $left parenthesis 9 minus 2 x right parenthesis space cm$

Tinggi = $x space cm$

Kemudian kita tentukan fungsi volume sebagai berikut :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px 2px 2px end attributes row straight V equals cell straight p cross times straight l cross times straight t end cell row blank equals cell open parentheses 24 minus 2 x close parentheses open parentheses 9 minus 2 x close parentheses open parentheses x close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses 216 minus 18 x minus 48 x plus 4 x squared close parentheses open parentheses x close parentheses end cell row blank equals cell 216 x minus 18 x squared minus 48 x squared plus 4 x cubed end cell row blank equals cell 4 x cubed minus 66 x squared plus 216 x end cell end table$

Selanjutnya tentukan nilai $x$ agar volume maksimum. Cara menentukan nilai $x$ agar volume maksimum dan minimum adalah dengan menurunkan fungsi volume lalu menyamadengankan 0.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell 4 x cubed minus 66 x squared plus 216 x end cell row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 12 x squared minus 132 x plus 216 end cell row 0 equals cell 12 x squared minus 132 x plus 216 end cell row 0 equals cell x squared minus 11 x plus 18 end cell row 0 equals cell open parentheses x minus 9 close parentheses open parentheses x minus 2 close parentheses end cell row x equals 9 row atau blank blank row x equals 2 end table$

Kemudian substitusikan nilai $x$ ke dalam fungsi volume

1. untuk $x equals 9$ , volumenya sebagai berikut :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row volume equals cell 4 straight x cubed minus 66 straight x squared plus 216 straight x end cell row blank equals cell 4 open parentheses 9 close parentheses cubed minus 66 open parentheses 9 close parentheses squared plus 216 open parentheses 9 close parentheses end cell row blank equals cell 2.916 minus 5.346 plus 1.944 end cell row blank equals cell negative 486 space space cm squared space open parentheses tidak space mungkin close parentheses end cell end table$

2. untuk $x equals 2$ , volumennya sebagai berikut :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row volume equals cell 4 straight x cubed minus 66 straight x squared plus 216 straight x end cell row blank equals cell 4 open parentheses 2 close parentheses cubed minus 66 open parentheses 2 close parentheses squared plus 216 open parentheses 2 close parentheses end cell row blank equals cell 32 minus 264 plus 432 end cell row blank equals cell 200 space cm cubed space open parentheses volume space maksimum close parentheses end cell end table$

Jadi, volume maksimumnya adalah $200 space cm cubed$

Roboguru

Fungsi mencapai nilai maksimum untuk nilai

Pembahasan Soal:

Ingat: $f left parenthesis x right parenthesis equals a x to the power of n rightwards arrow f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals a times n times x to the power of n minus 1 end exponent$

Diketahui fungsi $f left parenthesis x right parenthesis equals y equals 4 x cubed minus 18 x squared plus 15 x minus 20$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell 4 times 3 x to the power of 3 minus 1 end exponent minus 18 times 2 x to the power of 2 minus 1 end exponent plus 15 end cell row blank equals cell 12 x squared minus 36 x plus 15 end cell end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell 12 times 2 x to the power of 2 minus 1 end exponent minus 36 end cell row blank equals cell 24 x minus 36 end cell end table$

Syarat stasioner:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell 4 times 3 x subscript s to the power of 3 minus 1 end exponent minus 18 times 2 x subscript s to the power of 2 minus 1 end exponent plus 15 end cell equals 0 row cell 12 x subscript s squared minus 36 x subscript s plus 15 end cell equals 0 row cell 4 x subscript s squared minus 12 x plus 5 end cell equals 0 row cell open parentheses 2 x subscript s minus 1 close parentheses open parentheses 2 x subscript s minus 5 close parentheses end cell equals 0 row blank blank cell x subscript s equals 1 half space atau space x subscript s equals 5 over 2 end cell end table$

Ingat:

$f apostrophe apostrophe open parentheses x subscript s close parentheses less than 0 rightwards arrow titik space balik space maksimum straight f apostrophe apostrophe open parentheses straight x subscript straight s close parentheses greater than 0 rightwards arrow titik space balik space minimum straight f apostrophe apostrophe open parentheses straight x subscript straight s close parentheses equals 0 rightwards arrow titik space belok$

Uji turunan kedua:

$f apostrophe apostrophe open parentheses 1 half close parentheses equals 24 times 1 half minus 36 f apostrophe apostrophe open parentheses 1 half close parentheses equals 12 minus 36 f apostrophe apostrophe open parentheses 1 half close parentheses equals negative 24 f apostrophe apostrophe open parentheses 1 half close parentheses less than 0$

Karena $f apostrophe apostrophe open parentheses 1 half close parentheses less than 0$ , jadi nilai maksimum fungsi $y equals 4 x cubed minus 18 x squared plus 15 x minus 20$ terjadi pada saat $x equals 1 half$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Roboguru

Diketahui sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu detik ketinggian yang dicapai bola dengan persamaan , dengan t adalah waktu dalam detik. Pilihlah benar atau salah pernyataan di bawah ini:...

Pembahasan Soal:

Suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum atau minimum) jika gradiennya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0).

Artikel ini telah tayang di Kompas.com dengan judul "Aplikasi Turunan: Nilai Maksimum dan Minimum", Klik untuk baca: https://www.kompas.com/skola/read/2020/11/16/140252569/aplikasi-turunan-nilai-maksimum-dan-minimum.
Penulis : Risya Fauziyyah
Editor : Rigel Raimarda

Download aplikasi Kompas.com untuk akses berita lebih mudah dan cepat:
Android: https://bit.ly/3g85pkA
iOS: https://apple.co/3hXWJ0L

Suatu fungsi akan mencapai optimal (maksimum atau minimum) jika turunan pertama dari fungsi tersebut sama dengan nol $f apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 0$ .

Sehingga agar bola mencapai tinggi maksimum maka $h apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 0$ (Benar)

Jadi, pernyataan "agar bola mencapai tinggi maksimum maka $h apostrophe left parenthesis t right parenthesis equals 0$ " (Benar)

Roboguru

Untuk memproduksi x potong pakaian jadi dalam diperlukan biaya produksi ribu rupiah, sedangkan harga jual per potong menjadi ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh per hari adalah . . .

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

$Keuntungan equals Harga space jual cross times jumlah space produksi minus Biaya$

Syarat nilai maksimum yaitu $f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0$

Dari soal diperoleh informasi:

$Jumlah space produksi equals x$

$Biaya equals left parenthesis x squared plus 4 x plus 10 right parenthesis$

$harga space jual equals left parenthesis 20 space minus x right parenthesis$

Sehingga diperoleh perhitungan:

$Keuntungan equals Harga space jual cross times jumlah space produksi minus Biaya Keuntungan equals open parentheses 20 minus x close parentheses open parentheses x close parentheses minus open parentheses x squared plus 4 x plus 10 close parentheses Keuntungan equals 20 x minus x squared minus x squared minus 4 x minus 10 Keuntungan equals negative 2 x squared plus 16 x minus 10$

Sehingga:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row Keuntungan equals cell f open parentheses x close parentheses equals negative 2 x squared plus 16 x minus 10 end cell row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell negative 4 x plus 16 end cell row cell negative 4 x end cell equals cell negative 16 end cell row x equals 4 end table$

Sehingga keuntungan maksimum didapat ketika menjual pakaian 4 potong perhari yaitu:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row Keuntungan equals cell negative 2 x squared plus 16 x minus 10 end cell row blank equals cell negative 2 open parentheses 4 close parentheses squared plus 16 open parentheses 4 close parentheses minus 10 end cell row blank equals cell negative 32 plus 64 minus 10 end cell row blank equals 22 end table$

Dengan demikian, Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh per hari adalah Rp22.000

Jadi, jawaban yang tepat adalah B

Roboguru

Nilai maksimum relatif fungsi adalah

Pembahasan Soal:

Diketahui $f open parentheses x close parentheses equals 2 over 3 x cubed plus 3 over 2 x squared minus 2 x plus 1.$ Menentukan nilai maksimum dari $f open parentheses x close parentheses$ yaitu dengan menentukan nilai $x$ ketika $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 0 comma end cell row blank blank blank end table$ sehingga

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell 2 over 3 x cubed plus 3 over 2 x squared minus 2 x plus 1 end cell row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell up diagonal strike 3 cross times fraction numerator 2 over denominator up diagonal strike 3 end fraction x to the power of 3 minus 1 end exponent plus up diagonal strike 2 cross times fraction numerator 3 over denominator up diagonal strike 2 end fraction x to the power of 2 minus 1 end exponent minus 2 x to the power of 1 minus 1 end exponent plus 0 end cell row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 2 x squared plus 3 x minus 2 end cell row 0 equals cell 2 x squared plus 3 x minus 2 end cell row 0 equals cell left parenthesis 2 x minus 1 right parenthesis left parenthesis x plus 2 right parenthesis end cell row x equals cell 1 half space text atau end text space x equals negative 2 end cell end table$

Untuk menentukan nilai maksimumnya, maka diperlukan substitusi nilai $x$ ketika $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 0 comma end cell row blank blank blank end table$ sehingga

$f open parentheses x close parentheses equals 2 over 3 x cubed plus 3 over 2 x squared minus 2 x plus 1 x equals 1 half rightwards double arrow f open parentheses 1 half close parentheses equals 2 over 3 open parentheses 1 half close parentheses cubed plus 3 over 2 open parentheses 1 half close parentheses squared minus 2 cross times 1 half plus 1 space space space space space space space space space space space space space space f open parentheses 1 half close parentheses equals 2 over 3 open parentheses 1 over 8 close parentheses plus 3 over 2 open parentheses 1 fourth close parentheses minus 1 plus 1 space space space space space space space space space space space space space space f open parentheses 1 half close parentheses equals 11 over 24 x equals negative 2 rightwards double arrow f open parentheses negative 2 close parentheses equals 2 over 3 open parentheses negative 2 close parentheses cubed plus 3 over 2 open parentheses negative 2 close parentheses squared minus 2 cross times negative 2 plus 1 space space space space space space space space space space space space space space space f open parentheses negative 2 close parentheses equals 2 over 3 cross times 8 plus 3 over 2 cross times 4 plus 4 plus 1 space space space space space space space space space space space space space space space f open parentheses negative 2 close parentheses equals 49 over 3$

Jadi nilai maksimum relatif fungsi $f open parentheses x close parentheses equals 2 over 3 x cubed plus 3 over 2 x squared minus 2 x plus 1 space$ adalah $49 over 3.$

Roboguru