Tentukan nilai maksimum f(x,y)=200x+300y dari sistem pertidaksamaan linear berikut: 10≤x≤25; 5≤y≤20; x+y≤40.

Pertanyaan

Tentukan nilai maksimum $\style{font-size:14px}{f\left(x,\;y\right)=200x+300y}$ dari sistem pertidaksamaan linear berikut:

$\style{font-size:14px}{\begin{array}{rcl}10&\leq&x\leq25\end{array}}$ ;

$\style{font-size:14px}{5\leq y\leq20}$ ;

$\style{font-size:14px}{x+y\leq40}$ .

$begin mathsize 14px style 8.000 end style$
$begin mathsize 14px style 9.500 end style$
$begin mathsize 14px style 10.000 end style$
$begin mathsize 14px style 10.500 end style$
$begin mathsize 14px style 10.800 end style$

Pembahasan Soal:

Perhatikan perhitungan berikut.

Pertidaksamaan linear $begin mathsize 14px style x plus y less or equal than 40 end style$ . Titik potong $undefined$ , maka:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 40 row cell 0 plus y end cell equals 40 row y equals 40 end table end style$

Didapatkan $begin mathsize 14px style open parentheses 0 comma space 40 close parentheses end style$ . Titik potong $undefined$ , maka:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 40 row cell x plus 0 end cell equals 40 row x equals 40 end table end style$

Didapatkan $begin mathsize 14px style open parentheses 40 comma space 0 close parentheses end style$ . Dari $undefined$ diketahui daerah penyelesaian berada di sebelah kiri garis $begin mathsize 14px style x plus y equals 40 end style$ . Maka grafiknya:

Pertidaksamaan linear $begin mathsize 14px style 10 less or equal than x less or equal than 25 end style$ dapat dibentuk grafik sebagai berikut:

Pertidaksamaan linear $begin mathsize 14px style 5 less or equal than y less or equal than 20 end style$ dapat dibentuk grafik sebagai berikut:

Dari sistem pertidaksamaan di atas dapat dibentuk grafik sebagai berikut:

Perhatikan titik-titik potong grafik tersebut.

Titik potong $begin mathsize 14px style straight A end style$ yaitu $begin mathsize 14px style x greater or equal than 10 end style$ dan $begin mathsize 14px style y less or equal than 20 end style$ maka $begin mathsize 14px style open parentheses 10 comma space 20 close parentheses end style$ .

Titik potong $begin mathsize 14px style straight B end style$ yaitu $undefined$ dan $begin mathsize 14px style y greater or equal than 5 end style$ maka $begin mathsize 14px style open parentheses 10 comma space 5 close parentheses end style$ .

Titik potong $begin mathsize 14px style straight C end style$ yaitu $begin mathsize 14px style x less or equal than 25 end style$ dan $undefined$ maka $begin mathsize 14px style open parentheses 25 comma space 5 close parentheses end style$ .

Titik potong D yaitu $undefined$ dan $undefined$ maka:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 40 row cell 25 plus y end cell equals 40 row y equals cell 40 minus 25 end cell row y equals 15 end table end style$

Didapatkan $begin mathsize 14px style open parentheses 25 comma space 15 close parentheses end style$ .

Titik potong $begin mathsize 14px style straight E end style$ yaitu $undefined$ dan $begin mathsize 14px style x less or equal than 20 end style$ maka:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 40 row cell 20 plus y end cell equals 40 row y equals cell 40 minus 20 end cell row y equals 20 end table end style$

Didapatkan $begin mathsize 14px style open parentheses 20 comma space 20 close parentheses end style$ .

Substitusikan titik-titik potong ke dalam fungsi objektif $begin mathsize 14px style f open parentheses x comma space y close parentheses equals 200 x plus 300 y end style$ , maka:

Titik $begin mathsize 14px style straight A open parentheses 10 comma space 20 close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses 10 comma space 20 close parentheses end cell equals cell 200 open parentheses 10 close parentheses plus 300 open parentheses 20 close parentheses end cell row blank equals cell 2.000 plus 6.000 end cell row blank equals cell 8.000 end cell end table end style$
Titik $begin mathsize 14px style straight B open parentheses 10 comma space 5 close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 10 comma space 5 right parenthesis end cell equals cell 200 left parenthesis 10 right parenthesis plus 300 left parenthesis 5 right parenthesis end cell row blank equals cell 2.000 plus 1.500 end cell row blank equals cell 3.500 end cell end table end style$
Titik $begin mathsize 14px style straight C open parentheses 25 comma space 5 close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 25 comma space 5 right parenthesis end cell equals cell 200 left parenthesis 25 right parenthesis plus 300 left parenthesis 5 right parenthesis end cell row blank equals cell 5.000 plus 1.500 end cell row blank equals cell 6.500 end cell end table end style$
Titik $begin mathsize 14px style straight D open parentheses 25 comma space 15 close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 25 comma space 15 right parenthesis end cell equals cell 200 left parenthesis 25 right parenthesis plus 300 left parenthesis 15 right parenthesis end cell row blank equals cell 5.000 plus 4.500 end cell row blank equals cell 9.500 end cell end table end style$
Titik $begin mathsize 14px style straight E open parentheses 20 comma space 20 close parentheses end style$
$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 20 comma space 20 right parenthesis end cell equals cell 200 left parenthesis 20 right parenthesis plus 300 left parenthesis 20 right parenthesis end cell row blank equals cell 4.000 plus 6.000 end cell row blank equals cell 10.000 end cell end table end style$

Dari hasil di atas, didapatkan nilai maksimum ketika $begin mathsize 14px style x equals 20 end style$ dan $begin mathsize 14px style y equals 20 end style$ yaitu $begin mathsize 14px style 10.000 end style$ .

Jadi, nilai maksimum dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah $begin mathsize 14px style 10.000 end style$ .

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

N. Ayu

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Padang

Terakhir diupdate 05 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 dan mobil besar 20 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. ...

Pembahasan Soal:

$M i s a l k a n space m o b i l space k e c i l space equals space A space d a n space m o b i l space b e s a r space equals space B space D a r i space i n f o r m a s i space d i space a t a s comma space d i p e r o l e h space 4 A space plus space 20 B space less or equal than space 1.760 space d a n space A space plus space B space less or equal than space space 200 space space d a n space F left parenthesis A comma space B right parenthesis space equals space 1.000 A space plus space 2.000 B space A k a n space d i c a r i space t e r l e b i h space d a h u l u space d a e r a h space h i m p u n a n space p e n y e l e s a i a n n y a. space T i t i k space p o t o n g space s u m b u space x space d a n space y space a d a l a h colon space space 4 A space plus space 20 B space equals space 1.760 space space rightwards arrow space space space A space plus space 5 B space equals space 440 space space rightwards arrow space left parenthesis 0 comma 88 right parenthesis space d a n space left parenthesis 440 comma 0 right parenthesis space A space plus space B space equals space 200 space space rightwards arrow space left parenthesis 0 comma 200 right parenthesis space d a n space left parenthesis 200 comma 0 right parenthesis space space T i t i k space p o t o n g space k e d u a space g a r i s space a d a l a h colon space A space plus space 5 B space equals space 440 space bottom enclose A space plus space space space B space equals space 200 space space – end enclose space space space space space space space space space space space space space space space space 4 B space equals space 240 space space rightwards arrow space B space equals space 60 space A space plus space B space equals space 200 space rightwards arrow space space A space plus space 60 space equals space 200 space rightwards arrow space space A space equals space 140 space T i t i k space p o t o n g space k e d u a space g a r i s space t e r s e b u t space a d a l a h colon space left parenthesis 140 comma 60 right parenthesis$

Gambar grafik:

$T i t i k minus t i t i k space s u d u t n y a space a d a l a h space t i t i k space left parenthesis 0 comma 88 right parenthesis semicolon space left parenthesis 140 comma 60 right parenthesis space d a n space left parenthesis 200 comma 0 right parenthesis. space space M e n c a r i space n i l a i space m a k s i m u m colon space d e n g a n space m e n s u b s t i t u s i k a n space t i t i k minus t i t i k space s u d u t space k e space f u n g s i space t u j u a n comma space d i p e r o l e h colon space F left parenthesis A comma space B right parenthesis space space space equals space 1.000 A space plus space 2.000 B space left parenthesis 0 comma 88 right parenthesis space space space space space space equals space 0 space plus space 2.000 left parenthesis 88 right parenthesis space equals space bold 176 bold. bold 000 space left parenthesis 140 comma 60 right parenthesis space equals space 1.000 left parenthesis 140 right parenthesis space plus space 2.000 left parenthesis 60 right parenthesis space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 140.000 space plus space 120.000 space equals space bold 260 bold. bold 000 space left parenthesis 200 comma 0 right parenthesis space space space equals space 1.000 left parenthesis 200 right parenthesis space plus space 0 space equals space bold 200 bold. bold 000 space J a d i comma space p e n g h a s i l a n space m a k s i m u m space a d a l a h space R p space 260.000$

Roboguru

Nilai maksimum fungsi f(x)=5y−2x pada daerah yang dibatasi oleh y≥0,x≤5,y−x≤2, dan 5x+3y≤30 adalah ...

Pembahasan Soal:

Untuk menentukan nilai optimum dengan metode titik pojok, gunakan langkah-langkah berikut.

1. Buatlah gambar persamaan garisnya dengan menghubungkan titik-titik $open parentheses x comma space 0 close parentheses$ dan $open parentheses y comma space 0 close parentheses$

2. Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dengan uji titik.

3. Tentukan titik pojok dari DHP.

4. Substitusi titik pojok ke fungsi tujuan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum.

Gambar DHP sistem pertidaksamaan pada soal dapat ditentukan sebagai berikut.

Menentukan titik potong dari setiap persamaan.

Gambar DHP dengan uji titik.

Titik potong garis $y minus x equals 2$ dan $5 x plus 3 y equals 30$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$table row cell negative x plus y equals 2 end cell cell open vertical bar cross times 3 close vertical bar end cell cell negative 3 x plus 3 y end cell equals cell 6 space space space end cell row cell 5 x plus 3 y equals 30 end cell cell open vertical bar cross times 1 close vertical bar end cell cell 5 x plus 3 y end cell equals cell 30 space minus end cell row blank blank cell negative 8 x end cell equals cell negative 24 end cell row blank blank x equals 3 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y minus x end cell equals 2 row cell y minus 3 end cell equals 2 row y equals 5 end table$

Diperoleh titik potong $open parentheses 3 comma space 5 close parentheses$

Titik potong garis $x equals 5$ dan $5 x plus 3 y equals 30$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 times 5 plus 3 y end cell equals 30 row cell 25 plus 3 y end cell equals 30 row cell 3 y end cell equals 5 row y equals cell 5 over 3 end cell end table$

Diperoleh titik potong $open parentheses 5 comma space 5 over 3 close parentheses$

Penentuan nilai maksimum dengan uji titik pojok

Diperoleh nilai maksimum 19.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah E.

Roboguru

Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 6x+5y yang memenuhi sistem pertidaksamaan : 2x+y≥8;2x+3y≥12;x≥0;y≥0;x,y∈R adalah ....

Pembahasan Soal:

Dari sistem pertidaksamaan tersebut didapat daerah penyelesaian

titik B yang merupakan titik potong antara 2x+y=8 dan 2x+3y=12 dapat diketahui dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut

$2 x plus y equals 8 2 x plus 3 y equals 12 space space minus minus negative negative negative negative negative space space space space space space minus 2 y equals negative 4 space space space space space space space space space space space space y equals 2$

Substitusi y=2 ke persamaan pertama, didapat

$2 x plus y equals 8 rightwards arrow 2 x plus 2 equals 8 rightwards arrow 2 x equals 6 rightwards arrow x equals 3$

Jadi B (3,2)

Masukkan kandidat titik ekstrim kedalam fungsi objektif f(x,y) = 6x+5y

$f left parenthesis 0 comma 6 right parenthesis equals 6 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 8 right parenthesis equals 40 f left parenthesis 3 comma 2 right parenthesis equals 6 left parenthesis 3 right parenthesis plus 5 left parenthesis 2 right parenthesis equals 28 rightwards arrow m i n i m u m f left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis equals 6 left parenthesis 6 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 36$

Roboguru

Nilai maksimum dari f(x,y)=300x+500y yang memenuhi pertidaksamaan x+2y≤4,x+y≤3,x≥0dany≥0 adalah ....

Pembahasan Soal:

Syarat kendala pada soal di atas adalah:

$x plus 2 y less or equal than 4 space.......................... left parenthesis 1 right parenthesis x plus y less or equal than 3 space............................ left parenthesis 2 right parenthesis x greater or equal than 0 comma space y greater or equal than 0$

dari cari titik potong antara pertidaksamaan 1 dan 2, lalu buat menjadi persamaan linear.

$x plus 2 y equals 4 bottom enclose x plus y space space equals 3 end enclose minus space space space space space space space space y equals 1 s u b s t i t u s i space k e space p e r s. space left parenthesis 2 right parenthesis rightwards arrow x plus 1 equals 3 rightwards arrow x equals 2$

buat grafik pertidaksamaan linear pada syarat di atas menjadi :

Dengan metode titik pojok pada himpunan penyelesaian diperoleh titik pojok, sebagai berikut:

$left parenthesis 0 comma 2 right parenthesis comma space left parenthesis 2 comma 1 right parenthesis comma space left parenthesis 3 comma 0 right parenthesis space masukkan space ke space fungsi space optimumnya space f left parenthesis x right parenthesis equals 300 x plus 500 y 300 left parenthesis 0 right parenthesis plus 500 left parenthesis 2 right parenthesis equals 1000 300 left parenthesis 2 right parenthesis plus 500 left parenthesis 1 right parenthesis equals 1100 300 left parenthesis 3 right parenthesis plus 500 left parenthesis 0 right parenthesis equals 900$

Jadi, nilai maksimumnya adalah 1100.

Roboguru

Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x, y) = 2x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x+2y≤10;x+y≤7;x≥0;y≥0danx,y∈ bilangan real adalah .....

Pembahasan Soal:

Penyelesaian :

$x space greater or equal than space 0 space d a n space y space greater or equal than space 0$ mempunyai penyelesaian di kanan sumbu y dan di atas sumbu x.
Untuk $x space plus space 2 y space less or equal than space 10$

AmbiI (0,0) diperoleh $0 space plus space 2 left parenthesis 0 right parenthesis space equals space 0 space less or equal than space 1$ 0 (benar). Jadi, daerah yang memuat (0,0) merupakan himpunan penyelesaiannya.

Untuk $x space plus space y space less or equal than space 7$

Ambil (0,0) diperoleh $0 space plus space 0 space equals space 0 space less or equal than space 7$ (benar). Jadi, daerah yang memuat (0,0) merupakan himpunan penyelesaiannya.

Titik potong kedua garis:

Substitusikan $y space equals space 3 space k e space x space plus space y space equals space 7 space x plus 3 equals 7 rightwards arrow x equals 4 space T i t i k space p o t o n g n y a space left parenthesis 4 comma 3 right parenthesis$