Tentukan nilai maksimum dari pada interval .

Pertanyaan

Tentukan nilai maksimum dari $begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 6 x squared end style$ pada interval $begin mathsize 14px style negative 1 less or equal than x less or equal than 2 end style$ .

Pembahasan Video:

Pembahasan Soal:

Untuk menentukan nilai maksimum dari suatu fungsi pada interval tertentu, kita cukup mensubstitusikan nilai $begin mathsize 14px style x end style$ ujung interval dan titik stasionernya.

Langkah pertama cari titik stasioner. Titik stasioner diperoleh jika $begin mathsize 14px style f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 end style$ .

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell x cubed minus 6 x squared end cell row cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell 3 x squared minus 12 x end cell end table end style$

Untuk mencari nilai $begin mathsize 14px style x end style$ , faktorkan $begin mathsize 14px style f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end style$ .

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 x squared minus 12 end cell equals 0 row cell 3 x open parentheses x minus 4 close parentheses end cell equals 0 row cell 3 x text = end text 0 space atau space x minus 4 end cell equals 0 row cell x text = end text 0 space atau space x end cell equals 4 end table end style$

Kemudian, intervalnya adalah $begin mathsize 14px style negative 1 less or equal than x less or equal than 2 end style$ , maka nilai $begin mathsize 14px style x end style$ ujung intervalnya yaitu $begin mathsize 14px style x equals negative 1 end style$ dan $begin mathsize 14px style x equals 2 end style$ .

Untuk menentukan nilai maksimum dari $undefined$ , substitusikan $begin mathsize 14px style x end style$ titik stasioner dan $begin mathsize 14px style x end style$ ujung interval ke $begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals x cubed minus 6 x squared end style$ .

Untuk $begin mathsize 14px style x equals negative 1 end style$ , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis negative 1 right parenthesis end cell equals cell left parenthesis negative 1 right parenthesis cubed minus 6 left parenthesis negative 1 right parenthesis squared end cell row blank equals cell negative 1 minus 6 end cell row blank equals cell negative 7 end cell end table end style$

Untuk $begin mathsize 14px style x equals 0 end style$ , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals cell left parenthesis 0 right parenthesis cubed minus 6 left parenthesis 0 right parenthesis squared end cell row blank equals 0 end table end style$

Untuk $begin mathsize 14px style x equals 2 end style$ , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 2 right parenthesis end cell equals cell left parenthesis 2 right parenthesis cubed minus 6 left parenthesis 2 right parenthesis squared end cell row blank equals cell 8 minus 24 end cell row blank equals cell negative 16 end cell end table end style$

Untuk $begin mathsize 14px style x equals 4 end style$ , maka

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 4 right parenthesis end cell equals cell left parenthesis 4 right parenthesis cubed minus 6 left parenthesis 4 right parenthesis squared end cell row blank equals cell 64 minus 96 end cell row blank equals cell negative 32 end cell end table end style$

Jadi, nilai maksimumnya adalah 0.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

F. Freelancer6

Terakhir diupdate 03 Mei 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Sebuah perusahaan memproduksi unit barang setiap bulan dengan biaya produksi ribu rupiah. Setiap unit barang tersebut dijual dengan harga ribu rupiah. Banyak barang yang harus diproduksi setiap bul...

Pembahasan Soal:

Sebuah perusahaan memproduksi $begin mathsize 14px style x end style$ unit barang setiap bulan dengan biaya produksi $Error converting from MathML to accessible text.$ ribu rupiah. Setiap unit barang tersebut dijual dengan harga $Error converting from MathML to accessible text.$ ribu rupiah. Banyak barang yang harus diproduksi setiap bulan agar diperoleh keuntungan maksimum adalah....

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell K left parenthesis x right parenthesis end cell equals cell H left parenthesis x right parenthesis minus B left parenthesis x right parenthesis end cell row blank equals cell 0 comma 1 x cubed minus 20 x squared plus 4.000 x minus left parenthesis 25 x squared minus 2.000 x plus 50.000 right parenthesis end cell row blank equals cell 0 comma 1 x cubed minus 20 x squared plus 4.000 x minus 25 x squared plus 2.000 x minus 50.000 end cell row blank equals cell 0 comma 1 x cubed minus 45 x squared plus 6.000 x minus 50.000 end cell row blank blank blank end table end style$

Keuntungan maksimal terjadi saat $begin mathsize 14px style K apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 0 end style$

$begin mathsize 14px style 0 equals 0 comma 3 x squared minus 90 x plus 6.000 space left parenthesis semua space ruas space dikali 10 over 3 right parenthesis space x squared minus 300 x plus 20.000 equals 0 left parenthesis x minus 100 right parenthesis left parenthesis x minus 200 right parenthesis equals 0 end style$

$begin mathsize 14px style x equals 100 space atau space x equals 200 end style$

Untuk $begin mathsize 14px style x equals 100 end style$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell size 14px K size 14px left parenthesis size 14px 100 size 14px right parenthesis end cell size 14px equals cell size 14px 0 size 14px comma size 14px 1 size 14px left parenthesis size 14px 100 size 14px right parenthesis to the power of size 14px 3 size 14px minus size 14px 45 size 14px left parenthesis size 14px 100 size 14px right parenthesis to the power of size 14px 2 size 14px plus size 14px 6 size 14px. size 14px 000 size 14px left parenthesis size 14px 100 size 14px right parenthesis size 14px minus size 14px 50 size 14px. size 14px 000 end cell row blank equals cell size 14px 200 size 14px. size 14px 000 size 14px space size 14px ribu size 14px space size 14px rupiah end cell row blank size 14px equals cell size 14px 200 size 14px space size 14px juta end cell end table$

Untuk $begin mathsize 14px style x equals 200 end style$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell K left parenthesis 200 right parenthesis end cell equals cell 0 comma 1 left parenthesis 200 right parenthesis cubed minus 45 left parenthesis 200 right parenthesis squared plus 6.000 left parenthesis 200 right parenthesis minus 50.000 end cell row blank equals cell 150.000 space ribu space rupiah end cell row blank equals cell 150 space juta end cell end table end style$

Maka banyak barang yang diperoduksi agar maksimal adalah 100 unit.

Jadi jawaban yang tepat adalah E

Roboguru

Sebuah industri kecil memproduksi unit barang. Biaya produksi unit barang tersebut sebesar ribu rupiah. Harga jual per unit barang yang dihasilkan adalah . Jika semua hasil produksi industri terseb...

Pembahasan Soal:

Fungsi keuntungan dapat ditentukan sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell U open parentheses x close parentheses end cell equals cell J open parentheses x close parentheses minus B open parentheses x close parentheses end cell row blank equals cell 200 x minus open parentheses x cubed minus 72 x squared minus 100 x close parentheses end cell row blank equals cell negative x cubed plus 72 x squared plus 300 x end cell end table end style$

Keuntungan maksimum diperoleh apabila $begin mathsize 14px style U apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 end style$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell U apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell negative 3 x squared plus 144 x plus 300 end cell equals 0 row cell x squared minus 48 x minus 100 end cell equals 0 row cell open parentheses x minus 50 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end cell equals 0 end table end style$

$begin mathsize 14px style x equals 50 text atau end text space x equals negative 2 end style$

Keuntungan mencapai maksimum ketika perusahaan memproduksi 50 unit barang.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell U open parentheses x close parentheses end cell equals cell negative x cubed plus 72 x squared plus 300 x end cell row cell U open parentheses 50 close parentheses end cell equals cell negative open parentheses 50 close parentheses cubed plus 72 open parentheses 50 close parentheses squared plus 300 open parentheses 50 close parentheses end cell row blank equals cell negative 125.000 plus 180.000 plus 15.000 end cell row blank equals cell 70.000 end cell end table end style$

Diperoleh keuntungan maksimum $begin mathsize 14px style text Rp70.000.000,00 end text end style$

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Suatu persegi panjang kelilingnya 92 cm. ukuran sisi persegi panjang terpendek agar mempunyai luas maksimum adalah ...

Pembahasan Soal:

Keliling persegi panjang adalah $92 space cm$ , maka

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row K equals cell 2 open parentheses p plus l close parentheses end cell row 92 equals cell 2 open parentheses p plus l close parentheses end cell row 46 equals cell p plus l end cell row p equals cell 46 minus l end cell end table$

Luas persegi panjang tersebut adalah

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row L equals cell p cross times l end cell row cell L open parentheses l close parentheses end cell equals cell open parentheses 46 minus l close parentheses l end cell row cell L open parentheses l close parentheses end cell equals cell 46 l minus l squared end cell end table$

Maksimum suatu fungsi terjadi ketika nilai turunan pertama adalah $0$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L open parentheses l close parentheses end cell equals cell 46 l minus l squared end cell row cell L apostrophe open parentheses l close parentheses end cell equals cell 46 minus 2 l end cell row cell L apostrophe open parentheses l close parentheses end cell equals cell 0 comma space maka space end cell row cell 46 minus 2 l end cell equals 0 row 46 equals cell 2 l end cell row l equals 23 end table$

Jadi, ukuran sisi terpendek (lebar) persegi panjang tersebut adalah $23 space cm$ .

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah D.

Roboguru

Nilai maksimum dan minimum untuk fungsi pada interval adalah

Pembahasan Soal:

Jika suatu fungsi $begin mathsize 14px style f end style$ memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di $begin mathsize 14px style c end style$ dan $begin mathsize 14px style f apostrophe open parentheses c close parentheses end style$ ada, maka $size 14px f size 14px apostrophe begin mathsize 14px style left parenthesis c right parenthesis end style size 14px equals size 14px 0$ dan $begin mathsize 14px style x equals c end style$ disebut titik stasioner.

Oleh karena itu, untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi $begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals 6 x squared minus x cubed end style$ , kita akan menentukan turunan pertamanya terlebih dahulu.

$begin mathsize 14px style f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 12 x minus 3 x squared end style$ .

Selanjutnya kita bentuk persamaan turunan pertama $begin mathsize 14px style f end style$ sama dengan nol

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell 12 x minus 3 x squared end cell equals 0 row cell 3 x open parentheses 4 minus x close parentheses end cell equals 0 end table end style$

sehingga titik stasionernya adalah

$begin mathsize 14px style table row cell 3 x equals 0 end cell atau cell 4 minus x equals 0 end cell row cell x equals 0 end cell blank cell x equals 4 end cell end table end style$

Dengan melakukan uji turunan pertama untuk tiap daerah pada garis bilangan, diperoleh

Sehingga untuk interval $begin mathsize 14px style negative 1 less than x less than 3 end style$ , nilai minimum fungsi $begin mathsize 14px style f end style$ diperoleh saat $undefined$ dan nilai maksimumnya dicapai saat $begin mathsize 14px style x equals 3 end style$ .

Dengan demikian, nilai maksimum fungsi $begin mathsize 14px style f end style$ adalah

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses 3 close parentheses end cell equals cell 6 open parentheses 3 close parentheses squared minus open parentheses 3 close parentheses cubed end cell row blank equals cell 6 open parentheses 9 close parentheses minus 27 end cell row blank equals cell 54 minus 27 end cell row blank equals 27 end table end style$

dan nilai minimumnya adalah

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses 0 close parentheses end cell equals cell 6 open parentheses 0 close parentheses squared minus open parentheses 0 close parentheses cubed end cell row blank equals cell 0 minus 0 end cell row blank equals 0 end table end style$

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Roboguru

Diketahui fungsi yang dirumuskan sebagai . Tentukan nilai maksimum fungsi dalam interval .

Pembahasan Soal:

Titik stasioner fungsi di atas dapat ditentukan dengan mencari turunan pertama dari fungsi $f open parentheses x close parentheses$ sama dengan nol, sebagai berikut:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell x cubed minus 12 x squared end cell row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 3 x squared minus 24 x end cell row 0 equals cell 3 x squared minus 24 x end cell row 0 equals cell x squared minus 8 x end cell row 0 equals cell x open parentheses x minus 8 close parentheses end cell end table$

Pembuat nol nya sebagai berikut:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell bullet space x end cell equals 0 row cell bullet x minus 8 end cell equals 0 row x equals 8 end table$

Untuk mencari nilai maksimum, substitusi nilai $x equals 0$ , $x equals negative 1$ dan $x equals 5$ ke $f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 12 x squared$ . Untuk $x equals 8$ tidak kita cari nilai maksimumnya karena $x equals 8$ berada di luar interval $negative 1 less or equal than x less or equal than 5$ . Maka nilai maksimumnya diperoleh:

untuk $x equals negative 1$ , diperoleh:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell x cubed minus 12 x squared end cell row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 1 close parentheses cubed minus 12 open parentheses negative 1 close parentheses squared end cell row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell negative 1 minus 12 end cell row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell negative 13 end cell end table$

untuk $x equals 0$ , diperoleh:

$f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 2 x squared f open parentheses 0 close parentheses equals 0 cubed minus 2 open parentheses 0 close parentheses squared f open parentheses 0 close parentheses equals 0 minus 0 f open parentheses 0 close parentheses equals 0$

untuk $x equals 5$ , diperoleh:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell x cubed minus 12 x squared end cell row cell f open parentheses 5 close parentheses end cell equals cell open parentheses 5 close parentheses cubed minus 12 open parentheses 5 close parentheses squared end cell row cell f open parentheses 5 close parentheses end cell equals cell 125 minus 300 end cell row cell f open parentheses 5 close parentheses end cell equals cell negative 175 end cell end table$

Jadi, nilai maksimum fungsi $f$ dalam interval $negative 1 less or equal than x less or equal than 5$ adalah $0$ atau berada pada $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ .

Roboguru