Pertanyaan

Tentukan nilai limit berikut. c. x → 2 lim x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8

Tentukan nilai limit berikut.

c. $x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 6 x + 8}$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai dari x → 2 lim x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8 adalah − 6 .

nilai dari

x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 6 x + 8}

adalah

- 6

Pembahasan

Ingat mengenai konsep x → c lim f ( x ) = f ( c ) . Subtitusikan x → 2 ke persamaan x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8 , sehingga didapat: lim x → 2 x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8 = = = 2 2 − 6 ( 2 ) + 8 2 3 − 8 4 − 12 + 8 8 − 8 0 0 ( bentuk tak tentu ) Karena dengan mensubtitusikan x → 2 ke persamaan x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8 didapat 0 0 , maka fungsi x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut. Ingat kembali mengenai pemfaktoran bentuk a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) . lim x → 2 x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8 = = = = = = = lim x → 2 x 2 − 6 x + 8 x 3 − 2 3 lim x → 2 ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) lim x → 2 ( x − 4 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) ( 2 − 4 ) ( 2 2 + 2 ( 2 ) + 4 ) − 2 4 + 4 + 4 − 2 12 − 6 Dengan demikian, nilai dari x → 2 lim x 2 − 6 x + 8 x 3 − 8 adalah − 6 .

Ingat mengenai konsep $x \to c lim f (x) = f (c)$ .

Subtitusikan $x \to 2$ ke persamaan $\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 6 x + 8}$ , sehingga didapat:

$lim_{x \to 2} \frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 6 x + 8} = = = \frac{2 ^{3} - 8}{2 ^{2} - 6 ( 2 ) + 8} \frac{8 - 8}{4 - 12 + 8} \frac{0}{0} (bentuk tak tentu)$

Karena dengan mensubtitusikan $x \to 2$ ke persamaan $\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 6 x + 8}$ didapat $\frac{0}{0}$ , maka fungsi $\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 6 x + 8}$ diubah terlebih dahulu menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut. Ingat kembali mengenai pemfaktoran bentuk $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 6 x + 8} = = = = = = = lim_{x \to 2} \frac{x ^{3} - 2 ^{3}}{x ^{2} - 6 x + 8} lim_{x \to 2} \frac{( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x - 4 )} lim_{x \to 2} \frac{( x ^{2} + 2 x + 4 )}{( x - 4 )} \frac{( 2 ^{2} + 2 ( 2 ) + 4 )}{( 2 - 4 )} \frac{4 + 4 + 4}{- 2} - \frac{12}{2} - 6$