Pertanyaan

Tentukan nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan berikut. sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 = sin n ∘ 1

Tentukan nilai bilangan bulat positif terkecil $n$ yang memenuhi persamaan berikut.

$\frac{1}{sin 4 5 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{sin 13 3 ^{\circ} \cdot sin 13 4 ^{\circ}} = \frac{1}{sin n ^{\circ}}$ $\;\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1 .

nilai bilangan bulat positif terkecil

n

yang memenuhi persamaan tersebut adalah

1

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Hubungan cotan dengan sin dan cos cotan A = sin A cos A Sudut Berelasi (Kuadran II) sin ( 18 0 ∘ − A ) = sin A Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut Menyederhanakan bentuk sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 = sin n ∘ 1 dengan sudut berelasi, sehingga sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 = sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 + ... + sin ( 180 − 133 ) ∘ ⋅ sin ( 180 − 134 ) ∘ 1 = sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 + ... + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 = sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 + sin 4 6 ∘ ⋅ sin 4 7 ∘ 1 + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 + ... + sin 8 9 ∘ ⋅ sin 9 0 ∘ 1 Perhatikan bahwa, cot A − cot B = = = s i n A c o s A − s i n B c o s B s i n A s i n B s i n B c o s A − c o s B s i n A s i n A s i n B s i n ( B − A ) Sehingga, = = = = = = = s i n 4 5 ∘ ⋅ s i n 4 6 ∘ 1 + s i n 4 6 ∘ ⋅ s i n 4 7 ∘ 1 + s i n 4 7 ∘ ⋅ s i n 4 8 ∘ 1 + ... + s i n 8 9 ∘ ⋅ s i n 9 0 ∘ 1 s i n 1 ∘ 1 [ s i n 4 5 ∘ ⋅ s i n 4 6 ∘ s i n 1 ∘ + s i n 4 6 ∘ ⋅ s i n 4 7 ∘ s i n 1 ∘ + s i n 4 7 ∘ ⋅ s i n 4 8 ∘ s i n 1 ∘ + ... + s i n 8 9 ∘ ⋅ s i n 9 0 ∘ s i n 1 ∘ ] s i n 1 ∘ 1 [ s i n 4 5 ∘ ⋅ s i n 4 6 ∘ s i n ( 46 − 45 ) ∘ + s i n 4 6 ∘ ⋅ s i n 4 7 ∘ s i n ( 47 − 46 ) ∘ + s i n 4 7 ∘ ⋅ s i n 4 8 ∘ s i n ( 48 − 47 ) ∘ + ... + s i n 8 9 ∘ ⋅ s i n 9 0 ∘ s i n ( 90 − 89 ) ∘ ] s i n 1 ∘ 1 [ ( cot 4 5 ∘ − cot 4 6 ∘ ) + ( cot 4 6 ∘ − cot 4 7 ∘ ) + ( cot 4 7 ∘ − cot 4 8 ∘ ) + ... + ( cot 8 9 ∘ − cot 9 0 ∘ ) ] s i n 1 ∘ 1 [ cot 4 5 ∘ − cot 9 0 ∘ ] s i n 1 ∘ 1 [ 1 − 0 ] s i n 1 ∘ 1 Karena sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 = sin n ∘ 1 maka n = 1 Dengan demikian,nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1 .

Ingat,

Hubungan cotan dengan sin dan cos

$cotan A = \frac{cos A}{sin A}$

Sudut Berelasi (Kuadran II)

$sin (18 0^{\circ} - A) = sin A$

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut

$sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Menyederhanakan bentuk $\frac{1}{sin 4 5 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{sin 13 3 ^{\circ} \cdot sin 13 4 ^{\circ}} = \frac{1}{sin n ^{\circ}}$ dengan sudut berelasi, sehingga

$\frac{1}{sin 4 5 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{sin 13 3 ^{\circ} \cdot sin 13 4 ^{\circ}} = \frac{1}{sin 4 5 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{sin ( 180 - 133 ) ^{\circ} \cdot sin ( 180 - 134 ) ^{\circ}} = \frac{1}{sin 4 5 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} = \frac{1}{sin 4 5 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 6 ^{\circ} \cdot sin 4 7 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{sin 8 9 ^{\circ} \cdot sin 9 0 ^{\circ}}$

Perhatikan bahwa,

$cot A - cot B = = = \frac{c o s A}{s i n A} - \frac{c o s B}{s i n B} \frac{s i n B c o s A - c o s B s i n A}{s i n A s i n B} \frac{s i n ( B - A )}{s i n A s i n B}$

Sehingga,

$= = = = = = = \frac{1}{s i n 4 5 ^{\circ} \cdot s i n 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{s i n 4 6 ^{\circ} \cdot s i n 4 7 ^{\circ}} + \frac{1}{s i n 4 7 ^{\circ} \cdot s i n 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{s i n 8 9 ^{\circ} \cdot s i n 9 0 ^{\circ}} \frac{1}{s i n 1 ^{\circ}} [\frac{s i n 1 ^{\circ}}{s i n 4 5 ^{\circ} \cdot s i n 4 6 ^{\circ}} + \frac{s i n 1 ^{\circ}}{s i n 4 6 ^{\circ} \cdot s i n 4 7 ^{\circ}} + \frac{s i n 1 ^{\circ}}{s i n 4 7 ^{\circ} \cdot s i n 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{s i n 1 ^{\circ}}{s i n 8 9 ^{\circ} \cdot s i n 9 0 ^{\circ}}] \frac{1}{s i n 1 ^{\circ}} [\frac{s i n ( 46 - 45 ) ^{\circ}}{s i n 4 5 ^{\circ} \cdot s i n 4 6 ^{\circ}} + \frac{s i n ( 47 - 46 ) ^{\circ}}{s i n 4 6 ^{\circ} \cdot s i n 4 7 ^{\circ}} + \frac{s i n ( 48 - 47 ) ^{\circ}}{s i n 4 7 ^{\circ} \cdot s i n 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{s i n ( 90 - 89 ) ^{\circ}}{s i n 8 9 ^{\circ} \cdot s i n 9 0 ^{\circ}}] \frac{1}{s i n 1 ^{\circ}} [(cot 4 5^{\circ} - cot 4 6^{\circ}) + (cot 4 6^{\circ} - cot 4 7^{\circ}) + (cot 4 7^{\circ} - cot 4 8^{\circ}) + ... + (cot 8 9^{\circ} - cot 9 0^{\circ})] \frac{1}{s i n 1 ^{\circ}} [cot 4 5^{\circ} - cot 9 0^{\circ}] \frac{1}{s i n 1 ^{\circ}} [1 - 0] \frac{1}{s i n 1 ^{\circ}}$

Karena $\frac{1}{sin 4 5 ^{\circ} \cdot sin 4 6 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 4 7 ^{\circ} \cdot sin 4 8 ^{\circ}} + ... + \frac{1}{sin 13 3 ^{\circ} \cdot sin 13 4 ^{\circ}} = \frac{1}{sin n ^{\circ}}$ maka $n = 1$