Iklan

Iklan

Pertanyaan

Tentukan nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan berikut. sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 ​ + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 ​ = sin n ∘ 1 ​

Tentukan nilai bilangan bulat positif terkecil  yang memenuhi persamaan berikut.

space space 

Iklan

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1 .

 nilai bilangan bulat positif terkecil  yang memenuhi persamaan tersebut adalah .space space 

Iklan

Pembahasan

Ingat, Hubungan cotan dengan sin dan cos cotan A = sin A cos A ​ Sudut Berelasi (Kuadran II) sin ( 18 0 ∘ − A ) = sin A Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut Menyederhanakan bentuk sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 ​ + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 ​ = sin n ∘ 1 ​ dengan sudut berelasi, sehingga sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 ​ + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 ​ = sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 ​ + ... + sin ( 180 − 133 ) ∘ ⋅ sin ( 180 − 134 ) ∘ 1 ​ = sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 ​ + ... + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ = sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ + sin 4 6 ∘ ⋅ sin 4 7 ∘ 1 ​ + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 ​ + ... + sin 8 9 ∘ ⋅ sin 9 0 ∘ 1 ​ Perhatikan bahwa, cot A − cot B ​ = = = ​ s i n A c o s A ​ − s i n B c o s B ​ s i n A s i n B s i n B c o s A − c o s B s i n A ​ s i n A s i n B s i n ( B − A ) ​ ​ Sehingga, ​ = = = = = = = ​ s i n 4 5 ∘ ⋅ s i n 4 6 ∘ 1 ​ + s i n 4 6 ∘ ⋅ s i n 4 7 ∘ 1 ​ + s i n 4 7 ∘ ⋅ s i n 4 8 ∘ 1 ​ + ... + s i n 8 9 ∘ ⋅ s i n 9 0 ∘ 1 ​ s i n 1 ∘ 1 ​ [ s i n 4 5 ∘ ⋅ s i n 4 6 ∘ s i n 1 ∘ ​ + s i n 4 6 ∘ ⋅ s i n 4 7 ∘ s i n 1 ∘ ​ + s i n 4 7 ∘ ⋅ s i n 4 8 ∘ s i n 1 ∘ ​ + ... + s i n 8 9 ∘ ⋅ s i n 9 0 ∘ s i n 1 ∘ ​ ] s i n 1 ∘ 1 ​ [ s i n 4 5 ∘ ⋅ s i n 4 6 ∘ s i n ( 46 − 45 ) ∘ ​ + s i n 4 6 ∘ ⋅ s i n 4 7 ∘ s i n ( 47 − 46 ) ∘ ​ + s i n 4 7 ∘ ⋅ s i n 4 8 ∘ s i n ( 48 − 47 ) ∘ ​ + ... + s i n 8 9 ∘ ⋅ s i n 9 0 ∘ s i n ( 90 − 89 ) ∘ ​ ] s i n 1 ∘ 1 ​ [ ( cot 4 5 ∘ − cot 4 6 ∘ ) + ( cot 4 6 ∘ − cot 4 7 ∘ ) + ( cot 4 7 ∘ − cot 4 8 ∘ ) + ... + ( cot 8 9 ∘ − cot 9 0 ∘ ) ] s i n 1 ∘ 1 ​ [ cot 4 5 ∘ − cot 9 0 ∘ ] s i n 1 ∘ 1 ​ [ 1 − 0 ] s i n 1 ∘ 1 ​ ​ Karena sin 4 5 ∘ ⋅ sin 4 6 ∘ 1 ​ + sin 4 7 ∘ ⋅ sin 4 8 ∘ 1 ​ + ... + sin 13 3 ∘ ⋅ sin 13 4 ∘ 1 ​ = sin n ∘ 1 ​ maka n = 1 Dengan demikian,nilai bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1 .

Ingat,

Hubungan cotan dengan sin dan cos

Sudut Berelasi (Kuadran II)

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Selisih Dua Sudut

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Menyederhanakan bentuk  dengan sudut berelasi, sehingga

 

Perhatikan bahwa,

Sehingga,

Karena  maka 

Dengan demikian, nilai bilangan bulat positif terkecil  yang memenuhi persamaan tersebut adalah .space space 

Latihan Bab

Konsep Kilat

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Sudut Rangkap dan Sudut Paruh

Perkalian Trigonometri

90

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Hitunglah ( 1 − cotan 1 ∘ ) ( 1 − cotan 2 ∘ ) . . . ( 1 − cotan 4 4 ∘ )

8

0.0

Jawaban terverifikasi

Iklan

Iklan

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Fitur Roboguru

Topik Roboguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia