Pertanyaan

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real! b. 3 x − y = 2 dan 6 x − 2 y = 4

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi, jika $x$ dan $y$ variabel pada himpunan bilangan real!

b. $3 x - y = 2$ dan $6 x - 2 y = 4$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terdapat tak hingga penyelesaian yaitu ( x , y ) dimana y = 3 x − 2 untuk setiap x anggota himpunan bilangan real.

terdapat tak hingga penyelesaian yaitu

(x, y)

dimana

y = 3 x - 2

untuk setiap

x

anggota himpunan bilangan real.

Pembahasan

Ingat kembali materi berikut: Misalkan diketahui sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) a 1 x + b 1 y = c 1 dan a 2 x + b 2 y = c 2 . SPLDV tersebut akan memiliki tak hingga penyelesaian jika memenuhi syarat a 2 a 1 = b 2 b 1 = c 2 c 1 atau dengan kata lain a 1 x + b 1 y = c 1 dan a 2 x + b 2 y = c 2 berimpit. Perhatikan perhitungan berikut! Eliminasi y : 3 x − y = 2 6 x − 2 y = 4 ∣ ∣ × 2 × 1 ∣ ∣ 6 x − 2 y = 4 6 x − 2 y = 4 − 0 = 0 Karena hasil eliminasi dari 3 x − y = 2 dan 6 x − 2 y = 4 adalah 0, artinya kedua persamaan tersebut berimpit. Perhatikan pula bahwa a 2 a 1 b 2 b 1 c 2 c 1 = = = 6 3 = 2 1 − 2 − 1 = 2 1 4 2 = 2 1 Diperoleh bahwa a 2 a 1 = b 2 b 1 = c 2 c 1 = 2 1 maka 3 x − y = 2 dan 6 x − 2 y = 4 berimpit, sehingga terdapat tak hingga penyelesaian yang memenuhi SPLDV tersebut. Penyelesaian tersebut diperoleh dari 3 x − y − y y = = = 2 − 3 x + 2 3 x − 2 Dengan demikian, terdapat tak hingga penyelesaian yaitu ( x , y ) dimana y = 3 x − 2 untuk setiap x anggota himpunan bilangan real.

Ingat kembali materi berikut:

Misalkan diketahui sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ dan $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ . SPLDV tersebut akan memiliki tak hingga penyelesaian jika memenuhi syarat $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ atau dengan kata lain $a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ dan $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ berimpit.

Perhatikan perhitungan berikut!

Eliminasi $y$ :

$3 x - y = 2 6 x - 2 y = 4 ∣ ∣ \times 2 \times 1 ∣ ∣ 6 x - 2 y = 4 \underline{6 x - 2 y = 4} - 0 = 0$

Karena hasil eliminasi dari $3 x - y = 2$ dan $6 x - 2 y = 4$ adalah 0, artinya kedua persamaan tersebut berimpit. Perhatikan pula bahwa

$\frac{a _{1}}{a _{2}} \frac{b _{1}}{b _{2}} \frac{c _{1}}{c _{2}} = = = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2} \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Diperoleh bahwa $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}} = \frac{1}{2}$ maka $3 x - y = 2$ dan $6 x - 2 y = 4$ berimpit, sehingga terdapat tak hingga penyelesaian yang memenuhi SPLDV tersebut.