Pertanyaan

Tentukan himpunan bilangan asli untuk n agar pernyataan berikut menjadi benar. n 3 + ( n + 1 ) 3 > ( n + 2 ) 3

Tentukan himpunan bilangan asli untuk $n$ agar pernyataan berikut menjadi benar.

$n^{3} + (n + 1)^{3} > (n + 2)^{3}$

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

himpunan bilangan asli untuk agar pernyataan tersebutmenjadi benar adalah { 6 , 7 , 8 , ... } .

himpunan bilangan asli untuk

agar pernyataan tersebut menjadi benar adalah

{6, 7, 8, ...}

Pembahasan

Diketahui n 3 + ( n + 1 ) 3 > ( n + 2 ) 3 , maka: n 3 + ( n + 1 ) 3 n 3 + ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) n 3 + ( n 2 + 2 n + 1 ) ( n + 1 ) n 3 + n 3 + n 2 + 2 n 2 + 2 n + + n + 1 n 3 + n 2 + 3 n + 1 n 3 − 3 n 2 − 9 n − 7 > > > > > > ( n + 2 ) 3 ( n + 2 ) 2 ( n + 2 ) ( n 2 + 4 n + 4 ) ( n + 2 ) n 3 + 2 n 2 + 4 n 2 + 8 n + 4 n + 8 4 n 2 + 12 n + 8 0 Karena himpunan penyelesaiannya bilangan asli, kita cek satu persatu bilangan asli untuk disubstitusikan ke pertidaksamaan di atas, sehingga: Untuk n = 1 . 1 3 − 3 ( 1 ) 2 − 9 ( 1 ) − 7 − 18 > > 0 0 Pernyataan yang salah, sehingga n = 1 bukan penyelesaian. Untuk n = 2 . 2 3 − 3 ( 2 ) 2 − 9 ( 2 ) − 7 − 29 > > 0 0 Pernyataan yang salah, sehingga n = 2 bukan penyelesaian. Untuk n = 3 , n = 4 dan n = 5 menghasilkan < 0 yang merupakan pernyataan yang salah. Untuk n = 6 6 3 − 3 ( 6 ) 2 − 9 ( 6 ) − 7 47 > > 0 0 Pernyataan yang benar, sehingga n = 6 merupakan penyelesaian. Untuk n = 7 7 3 − 3 ( 7 ) 2 − 9 ( 7 ) − 7 126 > > 0 0 Pernyataan yang benar, sehingga n = 7 merupakanpenyelesaian. Untuk n seterusnya pernyataan menghasilkan > 0 . Sehingga penyelesaian n untuk bilangan asli adalah 6, 7, 8, ... Dengan demikian,himpunan bilangan asli untuk agar pernyataan tersebutmenjadi benar adalah { 6 , 7 , 8 , ... } .

Diketahui $n^{3} + (n + 1)^{3} > (n + 2)^{3}$ , maka:

$n^{3} + (n + 1)^{3} n^{3} + (n + 1)^{2} (n + 1) n^{3} + (n^{2} + 2 n + 1) (n + 1) n^{3} + n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + 2 n + + n + 1 n^{3} + n^{2} + 3 n + 1 n^{3} - 3 n^{2} - 9 n - 7 > > > > > > (n + 2)^{3} (n + 2)^{2} (n + 2) (n^{2} + 4 n + 4) (n + 2) n^{3} + 2 n^{2} + 4 n^{2} + 8 n + 4 n + 8 4 n^{2} + 12 n + 8 0$

Karena himpunan penyelesaiannya bilangan asli, kita cek satu persatu bilangan asli untuk disubstitusikan ke pertidaksamaan di atas, sehingga:

Untuk $n = 1$ .

$1^{3} - 3 (1)^{2} - 9 (1) - 7 - 18 > > 00$

Pernyataan yang salah, sehingga $n = 1$ bukan penyelesaian.

Untuk $n = 2$ .

$2^{3} - 3 (2)^{2} - 9 (2) - 7 - 29 > > 00$

Pernyataan yang salah, sehingga $n = 2$ bukan penyelesaian.

Untuk $n = 3$ , $n = 4$ dan $n = 5$ menghasilkan $< 0$ yang merupakan pernyataan yang salah.
Untuk $n = 6$

$6^{3} - 3 (6)^{2} - 9 (6) - 7 47 > > 00$

Pernyataan yang benar, sehingga $n = 6$ merupakan penyelesaian.

Untuk $n = 7$

$7^{3} - 3 (7)^{2} - 9 (7) - 7 126 > > 00$

Pernyataan yang benar, sehingga $n = 7$ merupakan penyelesaian.

Untuk $n$ seterusnya pernyataan menghasilkan $> 0$ .

Sehingga penyelesaian n untuk bilangan asli adalah 6, 7, 8, ...

Dengan demikian, himpunan bilangan asli untuk agar pernyataan tersebut menjadi benar adalah ${6, 7, 8, ...}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Pernyataan P n : 2 n + 3 < 2 n selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

176

0.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan diketahui barisan bilangan a 1 , a 2 , a 3 , ..., dengan a 1 = 2 , a 2 = 5 , a 3 = 8 , dan a n = a n − 1 + a n − 2 + a n − 3 . Buktikan bahwa a n ≤ 2 n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. b. n ≤ 2 n − 1

0.0

Jawaban terverifikasi

If n is a positive integer and n < t < n + 1 ,show that n + 1 1 < t 1 .

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! 2 n > n 2 untuk setiap bilangan bulat n > 4 . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0.0

Jawaban terverifikasi