Roboguru

Tentukan himpunan bilangan asli untuk  agar pernyataan berikut menjadi benar.

Pertanyaan

Tentukan himpunan bilangan asli untuk begin mathsize 14px style n end style agar pernyataan berikut menjadi benar.

begin mathsize 14px style n cubed plus open parentheses n plus 1 close parentheses cubed greater than open parentheses n plus 2 close parentheses cubed end style 

Pembahasan Soal:

n3+(n+1)3n3+(n+1)2(n+1)n3+(n2+2n+1)(n+1)n3+n3+n2+2n2+2n++n+1n3+n2+3n+1n33n29n7>>>>>>(n+2)3(n+2)2(n+2)(n2+4n+4)(n+2)n3+2n2+4n2+8n+4n+84n2+12n+80 

Karena himpunan penyelesaiannya bilangan asli, kita cek satu persatu bilangan asli untuk disubstitusikan ke pertidaksamaan di atas, sehingga:

  • Untuk n=1.

133(1)29(1)718>>00 

Pernyataan yang salah, sehingga n=1 bukan penyelesaian.

  • Untuk n=2.

233(2)29(2)729>>00 

Pernyataan yang salah, sehingga n=2 bukan penyelesaian.

  • Untuk n=3, n=4 dan n=5 menghasilkan <0 yang merupakan pernyataan yang salah.
  • Untuk n=6 

633(6)29(6)747>>00 

Pernyataan yang benar, sehingga n=6 merupakan penyelesaian.

  • Untuk n=7 

733(7)29(7)7126>>00 

Pernyataan yang benar, sehingga n=7 merupakan penyelesaian.

Untuk n seterusnya pernyataan menghasilkan >0.

Sehingga penyelesaian n untuk bilangan asli adalah 6, 7, 8, ...

Dengan demikian, himpunan bilangan asli untuk begin mathsize 14px style n end style agar pernyataan tersebut menjadi benar adalah {6,7,8,...}.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Use mathematical induction to prove:  b. (41​)n&lt;(31​)n   for all natural number .

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

(41)141<<(31)131 

Untuk n=1 pernyataan benar.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

(41)k<(31)k 

3. Untuk n=k+1 akan dibuktikan

(41)k+1<(31)k+1 

Maka:

(41)k(41)k.(41)(41)k.(41)(41)k+1<<<<(31)k(31)k.(41)(31)k.(31)(31)k+1 

Dengan demikian, untuk n anggota bilangan asli berlaku (41)n<(31)n.

Roboguru

Determine whether the statement is true or false. If true, provide a proof. a. For ,

Pembahasan Soal:

Membuktikan benar atau tidak dengan mensubsitusikan nilai n dengan 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n minus 8 end cell less than cell straight n squared minus 8 straight n plus 17 end cell row cell 2.1 minus 8 end cell less than cell 1 squared minus 8.1 plus 17 end cell row cell 2 minus 8 end cell less than cell 1 minus 8 plus 17 end cell row cell negative 6 end cell less than cell 10 rightwards arrow benar space end cell end table

Karena 2 straight n minus 8 less than straight n squared minus 8 straight n plus 17 benar maka dapat dibuktikan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 straight n minus 8 end cell less than cell straight n squared minus 8 straight n plus 17 end cell row 0 less than cell straight n squared minus 8 straight n minus 2 straight n plus 17 plus 8 end cell row 0 less than cell straight n squared minus 10 straight n plus 25 end cell row 0 less than cell open parentheses straight n minus 5 close parentheses squared rightwards arrow benar end cell end table

Jadi terbukti bahwa 2 straight n minus 8 less than straight n squared minus 8 straight n plus 17 benar

 

 

Roboguru

Buktikan masing-masing ketidaksamaan eksponen di bawah ini. c.

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika dimana

untuk n =1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 1 plus 5 end cell less than cell 5 to the power of 1 plus 1 end exponent end cell row 10 less than cell 25 rightwards arrow terbukti space end cell end table

untuk n = k akan diasumsikan terbukti

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight k plus 5 end cell less than cell 5 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow terbukti end cell end table

akan dibuktikan untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight k plus 1 end exponent plus 5 end cell less than cell 5 to the power of left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent end cell row cell 5 to the power of straight k plus 5 to the power of 1 plus 5 end cell less than cell 5 to the power of left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent end cell row cell 5 to the power of straight k plus 5 plus 5 to the power of 1 end cell less than cell 5 to the power of left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent end cell row cell 5 to the power of straight k plus 1 end exponent plus 5 end cell less than cell 5 to the power of left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent rightwards arrow terbukti end cell end table

jadi terbukti untuk 5 to the power of straight n plus 5 less than 5 to the power of straight n plus 1 end exponent karena table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight k plus 1 end exponent plus 5 end cell less than cell 5 to the power of left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent end cell end table

 

Roboguru

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut! 1) Jika  dan , maka  bernilai benar untuk setiap bilangan asli n. 2) Jika  dan  maka  bernilai benar untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induk...

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1 :

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon a subscript n less than 3 end style  

untuk setiap bilangan asli n.

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon a subscript 1 less than 3 end style  

Karena begin mathsize 14px style a subscript 1 equals 1 less than 3 end style, maka P1 benar.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon a subscript k less than 3 end style 

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon a subscript k plus 1 end subscript less than 3 end style 

Perhatikan bahwa karena ak < 3 , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell square root of 3 a subscript k end root end cell row blank less than cell square root of 3 times 3 end root end cell row blank equals cell square root of 9 end cell row blank equals 3 end table end style              

Sehingga ak+1 < 3

Maka, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P1 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

 

Pernyataan 2 :

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon a subscript n greater than 4 end style  

untuk setiap bilangan asli n.

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.  space 

Perhatikan pernyataan

undefined  

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon a subscript 1 greater than 4 end style  

Karena a1 = 8 > 4, maka P1 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined   

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon a subscript k greater than 4 end style  

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon a subscript k plus 1 end subscript greater than 4 end style  

Perhatikan bahwa karena begin mathsize 14px style a subscript k greater than 4 end style, maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell 1 half a subscript k plus 2 end cell row blank greater than cell 1 half open parentheses 4 close parentheses plus 2 end cell row blank equals cell 2 plus 2 end cell row blank equals 4 end table end style    

Sehingga begin mathsize 14px style a subscript k plus 1 end subscript greater than 4 end style.

Maka, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P1 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

 

Dengan demikian, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2).

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Use mathematical induction to prove that 2n&gt;(n+1)2 for all natural number .

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan n=6, pernyataan tersebut benar.

 266464>>>(6+1)27249

Benar untuk n=6.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar

2k>(k+1)2

3. Untuk n=k+1 akan dibuktikan

2k+1>((k+1)+1)2

 Maka:

2k.22k+12k+1>>>>>>>(k+1)2.2(k2+2k+1).22k2+4k+22k2+4k+2k2+2(dengank6)k2+4k+4(k+2)2((k+1)+1)2

Dengan demikian, untuk setiap bilangan asli n6 berlaku 2n>(n+1)2.

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved