Pertanyaan

Tentukan batas-batas nilai agar fungsi f ( x ) = − x 3 + ( a + 1 ) x 2 − ( a − 1 ) x + 1 selalu turun untuk setiap x bilangan nyata!

Tentukan batas-batas nilai $a$ agar fungsi

$f (x) = - x^{3} + (a + 1) x^{2} - (a - 1) x + 1$

selalu turun untuk setiap $x$ bilangan nyata!

P. Anggrayni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Diketahuifungsi . Fungsi tersebut akan selalu turun untuk semua bilangan nyata apabila atau dengan kata lain merupakan fungsi definit negatif. Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah . Selanjutnya, ingatlah bahwafungsi kuadrat akan definit negatif jika koefisien bernilai negatif dandiskriminannya juga bernilai negatif. Perhatikan bahwa koefisien dari adalah . Kemudian, karena nilai diskriminannya juga harus negatif, maka Dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna, pertidaksamaan kuadrat tersebut menjadi Permbuat nol dari pertidaksamaan tersebut adalah atau Dengan melakukan uji daerah pada garis bilangan, diperoleh Dengan demikian, batas-batas nilai agar fungsi selalu turun untuk setiap bilangan nyata adalah .

Diketahui fungsi

f open parentheses x close parentheses equals negative x cubed plus open parentheses a plus 1 close parentheses x squared minus open parentheses a minus 1 close parentheses x plus 1 .

Fungsi tersebut akan selalu turun untuk semua bilangan nyata apabila f apostrophe open parentheses x close parentheses less than 0 atau dengan kata lain merupakan fungsi definit negatif.

Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah

f apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 3 x squared plus 2 open parentheses a plus 1 close parentheses x minus open parentheses a minus 1 close parentheses .

Selanjutnya, ingatlah bahwa fungsi kuadrat akan definit negatif jika koefisien x squared bernilai negatif dan diskriminannya juga bernilai negatif.

Perhatikan bahwa koefisien x squared dari f apostrophe open parentheses x close parentheses adalah negative 3 less than 0 . Kemudian, karena nilai diskriminannya juga harus negatif, maka

Dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna, pertidaksamaan kuadrat tersebut menjadi

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a squared minus a plus open parentheses 1 half close parentheses squared minus open parentheses 1 half close parentheses squared plus 4 end cell less than 0 row cell open parentheses a plus 1 half close parentheses squared minus 1 fourth plus 4 end cell less than 0 row cell open parentheses a plus 1 half close parentheses squared minus 15 over 4 end cell less than 0 row cell open parentheses a plus 1 half close parentheses squared minus open parentheses fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction close parentheses squared end cell less than 0 row cell open parentheses a plus 1 half minus fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction close parentheses open parentheses a plus 1 half plus fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction close parentheses end cell less than 0 end table$

Permbuat nol dari pertidaksamaan tersebut adalah

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a plus 1 half minus fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction end cell equals 0 row a equals cell fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction minus 1 half end cell end table$

atau

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a plus 1 half plus fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction end cell equals 0 row a equals cell negative fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction minus 1 half end cell end table$

Dengan melakukan uji daerah pada garis bilangan, diperoleh

Dengan demikian, batas-batas nilai agar fungsi f open parentheses x close parentheses equals negative x cubed plus open parentheses a plus 1 close parentheses x squared minus open parentheses a minus 1 close parentheses x plus 1 selalu turun untuk setiap bilangan nyata adalah

$a less than negative fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction minus 1 half space atau space a greater than fraction numerator square root of 15 over denominator 2 end fraction minus 1 half$ .