Pertanyaan

Suatu lingkaran yang memiliki panjang jari-jari 3 2 cm berpotongan denganlingkaran yang memiliki panjang jari-jari 6 cm . Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil seperti yang bisa digambarkan berikut ini. Luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah ... cm 2 .

Suatu lingkaran yang memiliki panjang jari-jari $32 cm$ berpotongan dengan lingkaran yang memiliki panjang jari-jari $6 cm$ . Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil seperti yang bisa digambarkan berikut ini.

Luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah ... $cm^{2} .$

C. Ciru

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Misalkan TV adalah ruas garis yang menghubungkan titik potong kedua lingkaran sekaligus merupakan diameter dari lingkaran kecil seperti pada gambar berikut ini. Perhatikan bahwa luas daerah irisan kedua lingkaran ditunjukkan oleh daerah berwarna biru dan oranye. Luas daerah berwarna oranye dapat dihitungmenggunakan rumus setengah luas lingkaran kecil. Perhatikan perhitungan berikut ini! Selanjutnya, luas daerah berwarna biru merupakan luas tembereng lingkaran biru. Misal titikT dan V adalah titik perpotongan kedua lingkaran, O adalah titik pusat lingkaran biru seperti pada gambar berikut ini. Perhatikan bahwa panjang TV sama dengan diameter lingkaran kecil, yaitu 2 ⋅ r lingkaran kecil = 2 ⋅ 3 2 = 6 2 cm dan TO = VO = 6 cm sehingga besar sudut TOV dapat dihitung menggunakan aturan cosinus sebagai berikut. Karena dan maka Oleh karena itu, luas tembereng lingkaran biru dapat dihitung sebagai berikut. Dengan demikian, luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. L daerah berwarna oranye + L tembereng lingkaran biru = 9 π + ( 9 π − 18 ) = 18 π − 18 Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Misalkan $\overline{TV}$ adalah ruas garis yang menghubungkan titik potong kedua lingkaran sekaligus merupakan diameter dari lingkaran kecil seperti pada gambar berikut ini.

Perhatikan bahwa luas daerah irisan kedua lingkaran ditunjukkan oleh daerah berwarna biru dan oranye. Luas daerah berwarna oranye dapat dihitung menggunakan rumus setengah luas lingkaran kecil.

Perhatikan perhitungan berikut ini!

Selanjutnya, luas daerah berwarna biru merupakan luas tembereng lingkaran biru. Misal titik T dan V adalah titik perpotongan kedua lingkaran, O adalah titik pusat lingkaran biru seperti pada gambar berikut ini.

Perhatikan bahwa panjang $\overline{TV}$ sama dengan diameter lingkaran kecil, yaitu $2 \cdot r_{lingkaran kecil} = 2 \cdot 32 = 62 cm$ dan $\overline{TO} = \overline{VO} = 6 cm$ sehingga besar sudut $TOV$ dapat dihitung menggunakan aturan cosinus sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space straight m angle TOV end cell equals cell fraction numerator open parentheses top enclose TO close parentheses squared plus open parentheses top enclose VO close parentheses squared minus open parentheses top enclose TV close parentheses squared over denominator 2 times top enclose TO times top enclose VO end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 6 squared plus 6 squared minus open parentheses 6 square root of 2 close parentheses squared over denominator 2 times 6 times 6 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 36 plus 36 minus 36 times 2 over denominator 2 times 6 times 6 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 72 minus 72 over denominator 72 end fraction end cell row blank equals 0 end table$

Karena begin mathsize 14px style 0 degree less than straight m angle TOV less than 180 degree end style dan begin mathsize 14px style cos space 90 degree equals 0 comma end style maka

Oleh karena itu, luas tembereng lingkaran biru dapat dihitung sebagai berikut.

$Luas blank tembereng space lingkaran blank biru equals Luas blank juring blank TOV minus Luas blank increment TOV equals fraction numerator straight m angle TOV over denominator 360 degree end fraction cross times pi left parenthesis r squared right parenthesis minus 1 half cross times TO cross times VO cross times sin left parenthesis straight m angle TOV right parenthesis equals fraction numerator 90 degree over denominator 360 degree end fraction cross times pi open parentheses 6 squared close parentheses minus 1 half cross times 6 cross times 6 cross times sin space 90 degree equals 1 fourth cross times 36 pi minus 18 cross times 1 equals 9 pi minus 18$

Dengan demikian, luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

$L_{daerah berwarna oranye} + L_{tembereng lingkaran biru} = 9 π + (9 π - 18) = 18 π - 18$

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat ( 6 , 8 ) menyinggung sumbu- y .Lingkaran kedua dengan pusat ( 0 , 0 ) dan panjang jari-jari 12 satuan...

0.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 3 = 0 berpotongan dengan lingkaran yang berpusat di titik (3,2) dan jari-jari 2 satuan. Luas daerah perpotongan kedua lingkaran tersebut adala...

0.0

Jawaban terverifikasi

Keliling irisan lingkaran x 2 + y 2 = 4 dan x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 4 = 0 adalah ….

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan dua buah persamaan lingkaran berikut ini. L 1 : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 36 = 0 L 2 : x 2 + y 2 − 18 x − 6 y + 41 = 0 Luas daerah irisan kedua lingkaran di atas adalah … satuan luas...

5.0

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi