Roboguru

Prove that  is a factor of 2n+1+(−1)n for all non negative integers .

Pertanyaan

Prove that begin mathsize 14px style 3 end style is a factor of 2n+1+(1)n for all non negative integers undefined.

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

21+1+(1)1===221413 

Karena 3 habis dibagi 3, sehingga untuk n=1 pernyataan benar.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n=k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.

2k+1+(1)k 

3. Buktikan untuk bilangan asli n=k+1 pernyataan tersebut juga benar. 

=====2(k+1)+1+(1)k+12k+1+1+(1)k+12.2k+1+(1)k.(1)12.2k+1+(1)k.(23)2.2k+1+2.(1)k3.(1)k2habisdibagi3(2k+1+(1)k)habisdibagi33.(1)k 

Dengan demikian, untuk setiap bilangan bulat negatif, bentuk 2n+1+(1)n habis dibagi 3.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Perhatikan pernyataan berikut!  habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli . Menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n greater or equal than 1, langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 bernilai benar.


LANGKAH 1 : Buktikan bold italic P subscript bold 1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Oleh karena itu, pernyataan P subscript 1 bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript 1 colon space 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent habis dibagi 7

Kemudian, didapat bahwa 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent equals 4 squared plus 5 to the power of 1 equals 16 plus 5 equals 21.

Dapat diperhatikan bahwa 21 habis dibagi 7 sehingga 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent juga habis dibagi 7.

Dengan demikian, P subscript 1 bernilai benar.


LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli bold italic k, jika bold italic P subscript bold italic k bernilai benar mengakibatkan bold italic P subscript bold italic k bold plus bold 1 end subscript bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Asumsikan pernyataan P subscript k bernilai BENAR.

Pernyataan P subscript k bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k colon space 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent  habis dibagi 7

Selanjutnya, akan dicek nilai kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript.

Pernyataan P subscript k plus 1 end subscript bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k plus 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k plus 1 end subscript colon space 4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent  habis dibagi 7

Kemudian, perhatikan perhitungan berikut ini!

4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent equals 4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k plus 2 minus 1 end exponent equals 4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 plus 2 end exponent equals 4 to the power of 1 times 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 squared times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent equals 4 times 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 25 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent equals 4 times 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 4 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent plus 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent equals 4 times left parenthesis 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent right parenthesis plus 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent

Dari pernyataan P subscript k, didapat bahwa left parenthesis 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent right parenthesis habis dibagi 7 sehingga 4 times open parentheses 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses juga habis dibagi 7.

Kemudian, karena 21 habis dibagi 7, maka 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent juga habis dibagi 7.

Dengan demikian, didapat bahwa 4 times open parentheses 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses plus 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent habis dibagi 7 atau 4 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent habis dibagi 7 sehingga P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.


Kemudian perhatikan informasi-informasi yang didapat sebagai berikut.

  1. P subscript 1 bernilai benar.
  2. Untuk sembarang bilangan asli k, terbukti bahwa jika P subscript k bernilai benar mengakibatkan P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Oleh karena itu, P subscript n benar untuk setiap bilangan asli n menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

0

Roboguru

Untuk n bilangan bulat positif, buktikan kebenaran pernyataan,  habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Dibuktikan dengan menggambil sampel bilangan bulat positif n = 1,2,3

Untuk n = 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 to the power of 1 minus 1 end cell row blank equals cell 3 minus 1 end cell row blank equals cell 2 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Untuk n = 2

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 squared minus 1 end cell row blank equals cell 9 minus 1 end cell row blank equals cell 8 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Untuk n = 3

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of straight n minus 1 end cell equals cell 3 cubed minus 1 end cell row blank equals cell 27 minus 1 end cell row blank equals cell 26 rightwards arrow habis space dibagi space 2 end cell end table

Jadi untuk n bilangan bulat positif benar 3 to the power of straight n minus 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 2 end style dari pembuktian sampel bilangan bulat positif seperti 1,2,3.

0

Roboguru

Untuk bilangan bulat positif n, diketahui pernyataan-pernyataan berikut : Jika  adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi Jika  adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi . Jika  adalah bilan...

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1 : Jika bold italic n to the power of bold 2 adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi bold italic n

Dengan metode tidak langsung (dengan kontraposisi),

  1. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan jika 2 tidak habis membagi n (sehingga n adalah bilangan ganjil), maka undefined adalah bilangan ganjil.
  2. Maka terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga n=2k+1.
  3. n squared equals left parenthesis 2 k plus 1 right parenthesis squared equals 4 k squared plus 4 k plus 1 equals 2 left parenthesis 2 k squared plus 2 k right parenthesis plus 1 
  4. Misalkan l equals 2 k squared plus 2 k , maka n squared equals 2 l plus 1 .
  5. Karena adalah bilangan bulat, maka undefined adalah bilangan ganjil.

  Pernyataan 1  bernilai benar.

 

Pernyataan 2 : Jika bold italic n to the power of bold 2 adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi bold italic n to the power of bold 2.

Dengan metode pembuktian langsung,

Karena undefined adalah bilangan genap, maka jelas bahwa 2 habis membagi undefined.

 Pernyataan 2 bernilai benar.

 

Pernyataan 3 : Jika bold italic n to the power of bold 2 adalah bilangan genap, maka 4 habis membagi bold italic n to the power of bold 2.

Dengan metode pembuktian langsung,

  1. Berdasarkan pernyataan 1), jika undefined adalah bilangan genap, maka n adalah bilangan genap.
  2. Sehingga terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga n=2k.
  3. n squared equals left parenthesis 2 k right parenthesis squared equals 4 k squared 
  4. Misalkan l equals k squared , maka n squared equals 4 l .
  5. Karena adalah bilangan bulat, maka 4 habis membagi undefined.

  Pernyataan 3 bernilai benar.

Sehingga, pernyataan 1), 2), dan 3) ketiganya benar.

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan bulat positif , buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut. b.  habis dibagi

Pembahasan Soal:

Langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk pernyataan P subscript n yang memenuhi dua kondisi berikut:

  1. P subscript 1 adalah benar (dibuktikan).
  2. Jika P subscript k dianggap benar untuk setiap bilangan asli k, maka P subscript k plus 1 end subscript harus dibuktikan juga benar.

Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan P subscript n benar untuk setiap bilangan n.

Akan dibuktikan bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style, untuk setiap bilangan bulat positif begin mathsize 14px style n end style.

Dengan menggunakan langkah pembuktian tersebut diperoleh sebagai berikut.

Misalkan P subscript n equals open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared.

Langkah pertama:

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript n end cell equals cell open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row cell P subscript 1 end cell equals cell open curly brackets 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets 1 open parentheses 2 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets 2 close curly brackets squared end cell row blank equals cell 4 space space open parentheses habis space dibagi space 4 close parentheses end cell end table

Diperoleh, P subscript 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style (benar).

Langkah kedua:

Anggap P subscript k benar, yaitu

P subscript k equals open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared space space habis space dibagi space 4

Akan dibuktikan bahwa P subscript k plus 1 end subscript, berarti n equals k plus 1, yaitu P subscript k plus 1 end subscript equals open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses close curly brackets squared habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style.

Perhatikan perhitungan berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared plus 2 times open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets open curly brackets 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets plus open curly brackets 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared plus 4 times k open parentheses k plus 1 close parentheses squared plus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses squared end cell end table

Oleh karena open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared4 k open parentheses k plus 1 close parentheses squared, dan 4 open parentheses k plus 1 close parentheses squared, habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style, maka P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Diperoleh, langkah pertama P subscript 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style (benar), dan langkah kedua P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Dengan demikian, terbukti bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style.

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli  diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 1)     habis dibagi 4 2)     habis dibagi 4 Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan o...

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1

Perhatikan pernyataan berikut!

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of 2 n end exponent plus 1 end style habis dibagi 4

untuk setiap bilangan asli size 14px n size 14px.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n end style, yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 end style, maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan undefined benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

undefined habis dibagi 4

Oleh karena itu, diperoleh begin mathsize 14px style P subscript 1 end style sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent plus 1 end style habis dibagi 4

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 left parenthesis 1 right parenthesis end exponent plus 1 equals 3 squared plus 1 equals 10. end style  

Karena 10 tidak habis dibagi 4, maka begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent plus 1 end style tidak habis dibagi 4.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript 1 end style salah sehingga kita simpulkan pernyataan 1 salah.

 

Pernyataan 2

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of 2 n end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n end style.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli begin mathsize 14px style n end style, yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 end style, maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold 1 end style benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

begin mathsize 14px style P subscript n colon 3 to the power of 2 n end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

Oleh karena itu, diperoleh begin mathsize 14px style P subscript 1 end style sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 1 end style  habis dibagi 4

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 1 equals 3 squared minus 1 equals 9 minus 1 equals 8. end style 

Karena 8 habis dibagi 4, maka begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 1 end style habis dibagi 4.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli begin mathsize 14px style bold italic k end style, jika begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style bold italic P subscript bold k bold plus bold 1 end subscript end style bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

undefined habis dibagi 4

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut!

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 1 end style habis dibagi 4

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent minus 1 end cell equals cell 3 to the power of 2 k plus 2 end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 3 squared times 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 9 times 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 9 times 3 to the power of 2 k end exponent minus 9 plus 8 end cell row blank equals cell 9 left parenthesis 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 right parenthesis plus 8 end cell end table end style

Karena begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 end style habis dibagi 4, maka begin mathsize 14px style 9 open parentheses 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 close parentheses end style habis dibagi 4.

Karena 8 habis dibagi 4, sehingga begin mathsize 14px style 9 open parentheses 3 to the power of 2 k end exponent minus 1 close parentheses plus 8 end style habis dibagi 4 atau begin mathsize 14px style 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 1 end style habis dibagi 4.

Dengan demikan, begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style  bernilai benar.

Karena

  1. begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.
  2. Untuk sembarangan bilangan asli begin mathsize 14px style k end style, jika begin mathsize 14px style P subscript k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript n end style benar untuk setiap bilangan asli undefined, menurut prinsip induksi matematika.

Oleh karena itu, menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 2) saja.

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved