Pertanyaan

Prove that: a ( a + 1 ) 1 + ( a + 1 ) ( a + 2 ) 1 + ... + ( a + n − 1 ) ( a + n ) 1 = a ( a + n ) n

Prove that:

$\frac{1}{a ( a + 1 )} + \frac{1}{( a + 1 ) ( a + 2 )} + ... + \frac{1}{( a + n - 1 ) ( a + n )} = \frac{n}{a ( a + n )}$

H. Eka

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses

benar untuk setiap

bilangan asli.

Pembahasan

Prinsip Induksi Matematika: Misalkan merupakan suatu pernyataan untuk setiapbilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut. 1. Langkah awal: Dibuktikan benar. 2. Langkah induksi: Jika diasumsikan benar, maka harus dibuktikan bahwa juga benar, untuk setiap bilangan asli. Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa benar untuk setiap bilangan asli . Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa Langkah awal: Akan dibuktikan benar. Jadi, terbukti bahwa benar. Langkah induksi: Asumsikan benarsehingga Akan ditunjukkan bahwa juga benar, sedemikian sehingga Bukti: Jadi, terbukti bahwa benar . Pernyataan memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, benar untuk setiap bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli . Pernyataan benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli .

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

undefined

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator a open parentheses a plus 1 close parentheses end fraction end cell equals cell fraction numerator n over denominator a open parentheses a plus n close parentheses end fraction end cell row cell fraction numerator 1 over denominator a open parentheses a plus 1 close parentheses end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator a open parentheses a plus 1 close parentheses end fraction end cell end table$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga

$begin mathsize 12px style fraction numerator 1 over denominator a left parenthesis a plus 1 right parenthesis end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus 1 right parenthesis left parenthesis a plus 2 right parenthesis end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus k minus 1 right parenthesis left parenthesis a plus k right parenthesis end fraction equals fraction numerator k over denominator a left parenthesis a plus k right parenthesis end fraction end style$

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga

$begin mathsize 12px style fraction numerator 1 over denominator a left parenthesis a plus 1 right parenthesis end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus 1 right parenthesis left parenthesis a plus 2 right parenthesis end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus k minus 1 right parenthesis left parenthesis a plus k right parenthesis end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus k right parenthesis left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction equals fraction numerator k plus 1 over denominator a left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction end style$

Bukti:

$begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 1 over denominator a left parenthesis a plus 1 right parenthesis end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus 1 right parenthesis left parenthesis a plus 2 right parenthesis end fraction plus... plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus k minus 1 right parenthesis left parenthesis a plus k right parenthesis end fraction end cell row blank blank cell plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus k right parenthesis left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator a open parentheses a plus k close parentheses end fraction plus fraction numerator 1 over denominator left parenthesis a plus k right parenthesis left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis plus a over denominator a left parenthesis a plus k right parenthesis left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k squared plus open parentheses a plus 1 close parentheses k plus a over denominator a left parenthesis a plus k right parenthesis left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses k plus a close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator a left parenthesis a plus k right parenthesis left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis over denominator a left parenthesis a plus k plus 1 right parenthesis end fraction end cell end table end style$

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli.