Roboguru

Pernyataan Pn​:2n+3<2n       selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....

Pertanyaan

Pernyataan

begin mathsize 14px style P subscript n colon 2 n plus 3 less than 2 to the power of n end style      

selalu bernilai benar untuk bilangan bulat n yang memenuhi ....
 

  1. n ≥ 0

  2. n ≥ 1

  3. n ≥ 2

  4. n ≥ 3

  5. n ≥ 4

Pembahasan Soal:

 Karena

undefined     

Maka, untuk n = 0, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 0 colon 2 open parentheses 0 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 0 end style    

Ruas kiri = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 to the power of 0 equals 1 end style     

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P0 bernilai salah.

 

Selanjutnya untuk n = 1, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 2 open parentheses 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 1 end style      

Ruas kiri = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 to the power of 1 equals 2 end style    

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P1 bernilai salah.

 

Selanjutnya untuk n = 2, didapat bahwa

 begin mathsize 14px style P subscript 2 colon 2 open parentheses 2 close parentheses plus 3 less than 2 squared end style          

Ruas kiri = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 squared equals 4 end style          

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P2 bernilai salah.

 

Selanjutnya untuk n = 3, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 3 colon 2 open parentheses 3 close parentheses plus 3 less than 2 cubed end style     

Ruas kiri = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 cubed equals 8 end style    

Karena ruas kiri > ruas kanan, maka P3 bernilai salah.

 

Selanjutnya, untuk n = 4, didapat bahwa

begin mathsize 14px style P subscript 4 colon 2 open parentheses 4 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of 4 end style      

Ruas kiri = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 to the power of 4 equals 16 end style    

Karena ruas kiri < ruas kanan, maka P4 bernilai benar.

 

Sehingga P4 bernilai benar. Maka, berkemungkinan Pn bernilai benar untuk bilangan bulat n ≥ 4.

Sehingga selanjutnya, buktikan untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Karena

begin mathsize 14px style P subscript n colon 2 n plus 3 less than 2 to the power of n end style    

maka

begin mathsize 14px style P subscript k colon 2 k plus 3 less than 2 to the power of k end style      

Dan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of k plus 1 end exponent end style   

Dari ruas kiri Pk+1  

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 end cell equals cell 2 k plus 2 plus 3 end cell row blank equals cell 2 k plus 3 plus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of k plus 2 end cell end table end style    

Perhatikan bahwa untuk k ≥ 4, maka begin mathsize 14px style 2 to the power of k greater or equal than 2 to the power of 4 equals 16 greater than 2 comma end style sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 end cell less than cell 2 to the power of k plus 2 end cell row blank less than cell 2 to the power of k plus 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 times 2 to the power of k end cell row blank equals cell 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell end table end style         

Maka begin mathsize 14px style 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 3 less than 2 to the power of k plus 1 end exponent end style  .

Sehingga, Pk+1 bernilai benar.

 

Karena

1.    P4 benar.

2.    Untuk sembarang bilangan bulat k ≥ 4, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 4, menurut prinsip induksi matematika. 

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

Terakhir diupdate 04 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Perhatikan pernyataan berikut!      untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

1

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! Pn​:2n&lt;2n+1 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

2

Roboguru

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut! 1) Jika an+1​=3an​​ dan a1​=1, maka an​4 bernilai benar untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ...

1

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! 3n&gt;2n untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ...

5

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut!  2n &gt; n2 untuk setiap bilangan bulat n &gt; 4. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved