Pertanyaan

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 4 n + 1 + 5 2 n − 1 habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n . Menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Perhatikan pernyataan berikut!

$P_{n} : 4^{n + 1} + 5^{2 n - 1}$ habis dibagi $7$

untuk setiap bilangan asli $n$ .

Menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama tidak bisa dibuktikan meskipun tahap kedua bisa dibuktikan
pernyataan tidak terbukti, karena tahap kedua tidak bisa dibuktikan meskipun tahap pertama bisa dibuktikan
pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama dan kedua tidak bisa dibuktikan
pernyataan terbukti dengan induksi matematika
tidak ada yang dapat disimpulkan

F. Ayudhita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan pernyataan sebagai berikut! habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli . Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu ,langkah pertamanya adalah buktikan bernilai benar. LANGKAH 1 : Buktikan bernilai benar. Perhatikan pernyataan sebagai berikut! habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli . Oleh karena itu, pernyataan bisa didapat dengan melakukan substitusi ke dalam pernyataan sebagai berikut. habis dibagi 7 Perhatikan perhitungan berikut! 4 1 + 1 + 5 2 ⋅ 1 − 1 = = = 4 2 + 5 1 16 + 5 21 Perhatikan bahwa 21 habis dibagi 7 sehingga juga habis dibagi 7 . Dengan demikian, bernilai benar. LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Perhatikan pernyataan sebagai berikut! habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli . Asumsikan pernyataan bernilai BENAR . Pernyataan bisa didapat dengan melakukan substitusi ke dalam pernyataan sebagai berikut. habis dibagi 7 Selanjutnya, akan dicek nilai kebenaran dari pernyataan . Pernyataan bisa didapat dengan melakukan substitusi ke dalam pernyataan sebagai berikut. habis dibagi 7 Kemudian, perhatikan perhitungan berikut ini! Dari pernyataan , didapat bahwa habis dibagi 7 sehingga juga habis dibagi 7 . Kemudian, karena 21 habis dibagi 7 , maka juga habis dibagi 7 . Dengan demikian, didapat bahwa habis dibagi 7 atau habis dibagi 7 sehingga bernilai benar. Kemudian perhatikan informasi-informasi yang didapat sebagai berikut. bernilai benar. Untuk sembarang bilangan asli , terbukti bahwa jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar. Oleh karena itu, benar untuk setiap bilangan asli menurut prinsip induksi matematika. Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi $7$

untuk setiap bilangan asli .

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli , yaitu n greater or equal than 1 , langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 bernilai benar.

LANGKAH 1 : Buktikan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi $7$

untuk setiap bilangan asli .

Oleh karena itu, pernyataan P subscript 1 bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript 1 colon space 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent habis dibagi $7$

Perhatikan perhitungan berikut!

$4^{1 + 1} + 5^{2 \cdot 1 - 1} = = = 4^{2} + 5^{1} 16 + 5 21$

Perhatikan bahwa $21$ habis dibagi $7$ sehingga 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent juga habis dibagi $7$ .

Dengan demikian, P subscript 1 bernilai benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli , jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi $7$

untuk setiap bilangan asli .

Asumsikan pernyataan P subscript k bernilai BENAR.

Pernyataan P subscript k bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k colon space 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent habis dibagi 7

Selanjutnya, akan dicek nilai kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript .

Pernyataan P subscript k plus 1 end subscript bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k plus 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k plus 1 end subscript colon space 4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent habis dibagi 7

Kemudian, perhatikan perhitungan berikut ini!

Dari pernyataan P subscript k , didapat bahwa left parenthesis 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent right parenthesis habis dibagi $7$ sehingga 4 times open parentheses 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses juga habis dibagi $7$ .

Kemudian, karena $21$ habis dibagi $7$ , maka 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent juga habis dibagi $7$ .

Dengan demikian, didapat bahwa 4 times open parentheses 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses plus 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent habis dibagi $7$ atau 4 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent habis dibagi $7$ sehingga P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Kemudian perhatikan informasi-informasi yang didapat sebagai berikut.

bernilaibenar.
Untuk sembarang bilangan asli , terbukti bahwa jika bernilai benar mengakibatkan bernilai benar.

Oleh karena itu, P subscript n benar untuk setiap bilangan asli menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut P n : 5 2 n − 1 + 1 habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 3 2 n + 1 habis dibagi 4 3 2 n − 1 habis dibagi 4 Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang b...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 5 2 n − 1 + 1 habis dibagi 6. Dalam pembuktian dengan induksi matematika, maka yang harus diasumsikan benar pada langkah kedua induksi adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

1.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut P n : 5 2 n − 3 2 n habis dibagi 16 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

1.0

Jawaban terverifikasi