Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! Pn​:4n+1+52n−1 habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n. Menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pertanyaan

Perhatikan pernyataan berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

  1. pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama tidak bisa dibuktikan meskipun tahap kedua bisa dibuktikanundefined 

  2. pernyataan tidak terbukti, karena tahap kedua tidak bisa dibuktikan meskipun tahap pertama bisa dibuktikanundefined 

  3. pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama dan kedua tidak bisa dibuktikanundefined 

  4. pernyataan terbukti dengan induksi matematikaundefined 

  5. tidak ada yang dapat disimpulkanundefined 

Pembahasan:

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n greater or equal than 1, langkah pertamanya adalah buktikan P subscript 1 bernilai benar.


LANGKAH 1 : Buktikan bold italic P subscript bold 1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Oleh karena itu, pernyataan P subscript 1 bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript 1 colon space 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent habis dibagi 7

Kemudian, didapat bahwa 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent equals 4 squared plus 5 to the power of 1 equals 16 plus 5 equals 21.

Dapat diperhatikan bahwa 21 habis dibagi 7 sehingga 4 to the power of 1 plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 times 1 minus 1 end exponent juga habis dibagi 7.

Dengan demikian, P subscript 1 bernilai benar.


LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli bold italic k, jika bold italic P subscript bold italic k bernilai benar mengakibatkan bold italic P subscript bold italic k bold plus bold 1 end subscript bernilai benar.

Perhatikan pernyataan P subscript n sebagai berikut!

P subscript n colon space 4 to the power of n plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 n minus 1 end exponent habis dibagi 7

untuk setiap bilangan asli n.

Asumsikan pernyataan P subscript k bernilai BENAR.

Pernyataan P subscript k bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k colon space 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent  habis dibagi 7

Selanjutnya, akan dicek nilai kebenaran dari pernyataan P subscript k plus 1 end subscript.

Pernyataan P subscript k plus 1 end subscript bisa didapat dengan melakukan substitusi n equals k plus 1 ke dalam pernyataan P subscript n sebagai berikut.

P subscript k plus 1 end subscript colon space 4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 end exponent  habis dibagi 7

Kemudian, perhatikan perhitungan berikut ini!

4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent equals 4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k plus 2 minus 1 end exponent equals 4 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 plus 2 end exponent equals 4 to the power of 1 times 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 squared times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent equals 4 times 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 25 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent equals 4 times 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 4 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent plus 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent equals 4 times left parenthesis 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent right parenthesis plus 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent

Dari pernyataan P subscript k, didapat bahwa left parenthesis 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent right parenthesis habis dibagi 7 sehingga 4 times open parentheses 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses juga habis dibagi 7.

Kemudian, karena 21 habis dibagi 7, maka 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent juga habis dibagi 7.

Dengan demikian, didapat bahwa 4 times open parentheses 4 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent close parentheses plus 21 times 5 to the power of 2 k minus 1 end exponent habis dibagi 7 atau 4 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 end exponent plus 5 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent habis dibagi 7 sehingga P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.


Kemudian perhatikan informasi-informasi yang didapat sebagai berikut.

  1. P subscript 1 bernilai benar.
  2. Untuk sembarang bilangan asli k, terbukti bahwa jika P subscript k bernilai benar mengakibatkan P subscript k plus 1 end subscript bernilai benar.

Oleh karena itu, P subscript n benar untuk setiap bilangan asli n menurut prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

W. Sholihah

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Perhatikan pernyataan berikut Pn​:52n−1+1  habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

1

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! Pn​:52n−1+1   habis dibagi 6. Dalam pembuktian dengan induksi matematika, maka yang harus diasumsikan benar pada langkah kedua induksi adalah ....

0

Roboguru

Untuk bilangan bulat positif n, diketahui pernyataan-pernyataan berikut : Jika n2 adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi n Jika  adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi . Jika  adalah bi...

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli n, perhatikan pernyataan-pernyataan berikut. 1)   7n+2+82n+1  habis dibagi 3. 2)   33n−2+73n−2  habis dibagi 5. Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai b...

0

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut   habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved