Roboguru

Perhatikan gambar garfik dibawah ini: Tentukan nilai minimum yang memenuhi fungsi obyektif f(x,y)=5x+3y !

Pertanyaan

Perhatikan gambar garfik dibawah ini:

Tentukan nilai minimum yang memenuhi fungsi obyektif f open parentheses x comma space y close parentheses equals 5 x plus 3 y !

Pembahasan Soal:

Ingat kembali persamaan garis yang melalui open parentheses 0 comma space a close parentheses dan open parentheses b comma space 0 close parentheses berikut:

a x plus b y equals a b 

Dari gambar yang diberikan, dapat diubah menjadi:

Dari gambar di atas, dapat ditentukan persamaan garis sebagai berikut:

  • Persamaan garis m yang melalui open parentheses 0 comma space 4 close parentheses dan open parentheses 1 comma space 0 close parentheses 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 x plus 1 times y end cell equals cell 4 times 1 end cell row cell 4 x plus y end cell equals cell 4 space... space open parentheses 1 close parentheses end cell end table 

  • Persamaan garis n yang melalui open parentheses 0 comma space 2 close parentheses dan open parentheses 2 comma space 0 close parentheses 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x plus 2 y end cell equals cell 2 times 2 end cell row cell 2 x plus 2 y end cell equals 4 row cell x plus y end cell equals cell 2 space... space open parentheses 2 close parentheses end cell end table 

Titik potong garis m dan n 

  • Eliminasi (1) dan (2)

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row 4 x plus y equals 4 none none end row row x plus y equals 2 none minus end row horizontal line row 3 x equals 2 none none end row row x equals 2 over 3 none none end row end stack 

  • Substitusi nilai x ke (2)

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 2 row cell 2 over 3 plus y end cell equals 2 row y equals cell 2 minus 2 over 3 end cell row y equals cell 6 over 3 minus 2 over 3 end cell row y equals cell 4 over 3 end cell end table 

Diperoleh titik-titik ujinya A open parentheses 0 comma space 2 close parentheses comma space B open parentheses 0 comma space 4 close parentheses, dan C equals open parentheses 2 over 3 comma space 4 over 3 close parentheses. Dengan demikian nilai minimum yang memenuhi fungsi obyektif f open parentheses x comma space y close parentheses equals 5 x plus 3 y dapat ditentukan sebagai berikut:

Jadi, nilai minimum yang memenuhi fungsi obyektif f open parentheses x comma space y close parentheses equals 5 x plus 3 y adalah 6.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

W. Lestari

Mahasiswa/Alumni Universitas Sriwijaya

Terakhir diupdate 07 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Fungsi f(x,y)=2x+2y−5 yang didefinisikan pada daerah yang diarsir, mencapai maksimum pada ...

Pembahasan Soal:

Pertama, kita harus menentukan persamaan setiap garis dan koordinat titik-titik pojok yang berada di daerah himpunan penyelesaian. Untuk membantu, perhatikan gambar berikut.



Ingat, untuk membentuk persamaan garis lurus yang diketahui titik potong dengan sumbu Y open parentheses 0 comma space straight a close parentheses dan sumbu X open parentheses straight b comma space 0 close parentheses adalah straight a x plus straight b y equals straight a times straight b. Maka diperoleh:

Persamaan garis 1 adalah 2 x plus 4 y equals 8 yang disederhanakan menjadi x plus 2 y equals 4.

Persamaan garis 2 adalah 4 x plus 4 y equals 16 yang disederhanakan menjadi x plus y equals 4.

Persamaan garis 3 adalah negative 2 x plus y equals negative 2.

Persamaan garis 4 adalah 2 x minus 2 y equals negative 4yang disederhanakan menjadi x minus y equals negative 2.

Sedangkan titik pojoknya (titik potongnya) dapat dicari dengan melakukan subsitusi dan eliminasi.

Titik A merupakan titik straight A left parenthesis 0 comma space 2 right parenthesis.

Titik B didapatkan dari perpotongan antara garis x plus y equals 4 dan garis x minus y equals negative 2.


up diagonal strike x plus y equals 4 bottom enclose up diagonal strike x minus y equals negative 2 space space minus end enclose space space space space 2 y equals 6 space space space space space space y equals 3 space space space space space space x equals 1


Diperoleh titik straight B left parenthesis 1 comma space 3 right parenthesis.

Titik C didapatkan dari perpotongan antara garis x plus y equals 4 dan garis negative 2 x plus y equals negative 2.


space space space space space x plus up diagonal strike y equals 4 bottom enclose negative 2 x plus up diagonal strike y equals negative 2 space space space minus end enclose space space space space space space space space 3 x equals 6 space space space space space space space space space space x equals 2 space space space space space space space space space space y equals 2


Diperoleh titik straight C left parenthesis 2 comma space 2 right parenthesis.

Titik D didapatkan dari perpotongan antara garis x plus 2 y equals 4 dan garis negative 2 x plus y equals negative 2.


space space space space x plus 2 y equals 4 space space space space vertical line cross times 1 vertical line space space space space space x plus up diagonal strike 2 y end strike equals 4 minus 2 x plus y equals negative 2 space vertical line cross times 2 vertical line bottom enclose negative 4 x plus up diagonal strike 2 y end strike equals negative 4 space space minus end enclose space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 5 x equals 8 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space x equals 8 over 5 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space y equals 6 over 5


Diperoleh titik straight D open parentheses 8 over 5 comma space 6 over 5 close parentheses.

Selanjutnya, kita cari titik maksimum dengan uji titik pojok.



Jadi, nilai maksimumnya tercapai pada open curly brackets left parenthesis x comma space y right parenthesis vertical line x equals 1 comma space y equals 3 close curly brackets dan open curly brackets left parenthesis x comma space y right parenthesis vertical line x equals 2 comma space y equals 2 close curly brackets.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

1

Roboguru

Daerah yang diarsir menyatakan penyelesaian suatu program linear. Jika f(x,y)=x−y, maka nilai maksimum ...

Pembahasan Soal:

Pertama, kita harus menentukan persamaan setiap garis dan koordinat titik-titik pojok yang berada di daerah himpunan penyelesaian. Untuk membantu, perhatikan gambar berikut.



Ingat, untuk membentuk persamaan garis lurus yang diketahui titik potong dengan sumbu Y open parentheses 0 comma space straight a close parentheses dan sumbu X open parentheses straight b comma space 0 close parentheses adalah straight a x plus straight b y equals straight a times straight b. Maka diperoleh:

Persamaan garis 1 adalah negative 2 x plus 2 y equals negative 4 yang disederhanakan menjadi negative x plus y equals negative 2.

Persamaan garis 2 adalah x minus 3 y equals negative 3.

Sedangkan titik pojoknya (titik potongnya) dapat dicari dengan melakukan subsitusi dan eliminasi.

Titik A merupakan perpotongan antara garis 2 dengan garis x equals 2, maka titik A adalah:


table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 3 end cell row cell 2 minus 3 y end cell equals cell negative 3 end cell row cell negative 3 y end cell equals cell negative 5 end cell row y equals cell 5 over 3 end cell end table


Diperoleh titik straight A open parentheses 2 comma space 5 over 3 close parentheses.

Titik B didapatkan dari perpotongan antara garis negative x plus y equals negative 2 dan garis x minus 3 y equals negative 3.


up diagonal strike negative x end strike plus y equals negative 2 space bottom enclose up diagonal strike x minus 3 y equals negative 3 space space plus end enclose space space space space minus 2 y equals negative 5 space space space space space space space space space space y equals 5 over 2 space space space space space space space space space space x equals 9 over 2


Diperoleh titik straight B open parentheses 9 over 2 comma space 5 over 2 close parentheses.

Selanjutnya, kita cari titik maksimum dengan uji titik pojok.



Nilai maksimumnya tercapai pada open curly brackets left parenthesis x comma space y right parenthesis vertical line x equals 9 over 2 comma space y equals 5 over 2 close curly brackets atau open curly brackets left parenthesis x comma space y right parenthesis vertical line x equals 2 comma space y equals 0 close curly brackets.

Karena jawaban pada titik-titik pojok tidak tersedia pada pilihan jawaban, maka kita uji titik-titik pada pilihan jawaban yang terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian, yaitu titik open parentheses 3 comma space 1 close parenthesesopen parentheses 2 comma space 5 over 3 close parentheses, dan open parentheses 3 comma space 2 close parentheses.


Jadi nilai maksimumnya ada di titik open parentheses 3 comma space 1 close parentheses.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

0

Roboguru

Nilai maksimum dari f(x,y)=22y−11x+7 adalah ...

Pembahasan Soal:

Rumus persamaan garis lurus yang memotong sumbu X di titik open parentheses b comma space 0 close parentheses dan sumbu Y di titik open parentheses 0 comma space a close parentheses adalah sebagai berikut.

a x plus b y equals a times b

Persamaan garis yang membatasi daerah yang diarsir adalah sebagai berikut.

1. Persamaan garis yang memotong sumbu X di open parentheses 4 comma space 0 close parentheses dan sumbu Y di open parentheses 0 comma space 3 close parentheses, yaitu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 x plus 4 y end cell equals cell 3 times 4 end cell row cell 3 x plus 4 y end cell equals 12 end table

2. Persamaan garis yang memotong sumbu X di open parentheses 1 comma space 0 close parentheses dan sumbu Y di open parentheses 0 comma space minus 2 close parentheses, yaitu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell negative 2 x plus y end cell equals cell negative 2 times 1 end cell row cell negative 2 x plus y end cell equals cell negative 2 end cell end table

3. Persamaan garis lainnya, yaitu y equals 1

Titik potong garis 3 x plus 4 y equals 12 dan negative 2 x plus y equals negative 2 adalah sebagai berikut.

table row cell 3 x plus 4 y space space equals 12 end cell cell open vertical bar cross times 1 close vertical bar end cell cell 3 x plus 4 y end cell equals cell 12 space space space space end cell row cell negative 2 x plus y equals negative 2 end cell cell open vertical bar cross times 4 close vertical bar end cell cell negative 8 x plus 4 y end cell equals cell negative 8 space minus end cell row blank blank cell 11 x end cell equals 20 row blank blank x equals cell 20 over 11 end cell end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell negative 2 x plus y end cell equals cell negative 2 end cell row cell negative 2 open parentheses 20 over 11 close parentheses plus y end cell equals cell negative 2 end cell row y equals cell 18 over 11 end cell end table

Diperoleh titik potong open parentheses 20 over 11 comma space 18 over 11 close parentheses

Titik potong garis negative 2 x plus y equals negative 2 dan y equals 1 adalah sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell negative 2 x plus y end cell equals cell negative 2 end cell row cell negative 2 x plus 1 end cell equals cell negative 2 end cell row cell negative 2 x end cell equals cell negative 3 end cell row x equals cell 3 over 2 end cell end table

Diperoleh titik potong open parentheses 3 over 2 comma space 1 close parentheses

Titik potong garis 3 x plus 4 y equals 12 dan y equals 1 adalah sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 x plus 4 y end cell equals 12 row cell 3 x plus 4 times 1 end cell equals 12 row cell 3 x end cell equals 8 row x equals cell 8 over 3 end cell end table

Diperoleh titik potongopen parentheses 8 over 3 comma space 1 close parentheses 

Penentuan nilai maksimum dengan titik pojok adalah sebagai berikut.

Nilai maksimum dari fungsi tersebut adalah 23.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

0

Roboguru

Nilai maksimum f(x,y)=x+2y pada daerah yang diarsir di bawah ini adalah ...

Pembahasan Soal:

Jika diketahui dua titik memotong sumbu koordinat dengan open parentheses a comma space 0 close parentheses dan open parentheses 0 comma space b close parentheses, maka akan diperoleh persamaan linear dengan rumus:

b x plus a y equals a b

Sehingga diperoleh:

  • Persamaan garis yang melalui open parentheses 4 comma space 0 close parentheses dan open parentheses 0 comma space 8 close parentheses, yaitu:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell b x plus a y end cell equals cell a b end cell row cell 8 x plus 4 y end cell equals cell 4 times 8 end cell row cell 8 x plus 4 y end cell equals cell 32 space space space space open vertical bar kedua space ruas space divided by 4 close vertical bar end cell row cell 2 x plus y end cell equals cell 8 space space space space space space... open parentheses 1 close parentheses end cell end table

  • Persamaan garis yang melalui open parentheses 9 comma space 0 close parentheses dan open parentheses 0 comma space 3 close parentheses, yaitu:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell b x plus a y end cell equals cell a b end cell row cell 3 x plus 9 y end cell equals cell 9 times 3 end cell row cell 3 x plus 9 y end cell equals cell 27 space space space space open vertical bar kedua space ruas space divided by 3 close vertical bar end cell row cell x plus 3 y end cell equals cell 9 space space space space space space... open parentheses 2 close parentheses end cell end table

Lakukan metode eliminasi untuk persamaan open parentheses 1 close parentheses dan open parentheses 2 close parentheses.

table row cell 2 x plus y equals 8 end cell cell open vertical bar cross times 1 close vertical bar end cell cell down diagonal strike 2 x end strike plus y equals space space 8 end cell row cell x plus 3 y equals 9 end cell cell open vertical bar cross times 2 close vertical bar end cell cell down diagonal strike 2 x end strike plus 6 y equals 18 space minus end cell row blank blank cell negative 5 y equals negative 10 end cell row blank blank cell y equals fraction numerator negative 10 over denominator negative 5 end fraction end cell row blank blank cell y equals 2 end cell end table

Substitusi nilai y ke persamaan open parentheses 1 close parentheses.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x plus y end cell equals 8 row cell 2 x plus 2 end cell equals 8 row cell 2 x end cell equals cell 8 minus 2 end cell row cell 2 x end cell equals 6 row x equals cell 6 over 2 end cell row x equals 3 end table

Sehingga diperoleh titik-titik himpunan (titik yang terkena arsiran) yaitu:

  • open parentheses 4 comma space 0 close parentheses
  • open parentheses 3 comma space 2 close parentheses
  • open parentheses 0 comma space 3 close parentheses

Substitusi titik-titik himpunan ke fungsi maksimum seperti berikut:

table row cell f open parentheses x comma space y close parentheses end cell rightwards arrow cell equals x plus 2 y end cell row blank blank blank row cell f open parentheses 4 comma space 0 close parentheses end cell rightwards arrow cell equals 4 plus 2 open parentheses 0 close parentheses end cell row blank blank cell equals 4 plus 0 end cell row blank blank cell equals 4 end cell row blank blank blank row cell f open parentheses 3 comma space 2 close parentheses end cell rightwards arrow cell equals 3 plus 2 open parentheses 2 close parentheses end cell row blank blank cell equals 3 plus 4 end cell row blank blank cell equals 7 end cell row blank blank blank row cell f open parentheses 0 comma space 3 close parentheses end cell rightwards arrow cell equals 0 plus 2 open parentheses 3 close parentheses end cell row blank blank cell equals 0 plus 6 end cell row blank blank cell equals 6 end cell end table

Nilai maksimum f open parentheses x comma space y close parentheses equals x plus 2 y pada daerah yang diarsir di bawah ini adalah 7.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

0

Roboguru

Daerah yang diarsir berikut merupakan penyelesaian permasalahan program linear. Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y)=3x+5y yang memenuhi daerah yang diarsir adalah ...

Pembahasan Soal:

Ingat kembali, 

Cara menemukan nilai maksimum dapat menggunakan metode titik pojok, yaitu mensubstitusi titik-titik pojok daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada fungsi objektif atau fungsi sasaran, kemudian dipilih yang paling maksimum hasilnya.

Berdasarkan grafik program linear dan metode titik pojok, diperoleh sebagai berikut

►Menentukan pertidaksamaan linear dua variabel dari grafik

6 x plus 4 y less or equal than 24 3 x plus 2 y less or equal than 12     dan        4 x plus 8 y less or equal than 32 x plus 2 y less or equal than 8

►Menentukan titik potong antara kedua pertidaksamaan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 x plus 2 y end cell equals 12 row cell x plus 2 y end cell equals 8 end table

Eliminasi y sehingga diperoleh 2 x equals 4 → x equals 2

Substitusi x equals 2 pada salah satu persamaan 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell equals 8 row cell 2 plus 2 y end cell equals 8 row cell 2 y end cell equals 6 row y equals 3 end table

Titik potong nya adalah open parentheses 2 comma 3 close parentheses

►Menentukan titik pojok pada daerah penyelesaian 

Ada 4 titik pojok yang membatasi daerah penyelesaian yang diarsir yaitu open parentheses 0 comma 0 close parentheses semicolon open parentheses 4 comma 0 close parentheses semicolon open parentheses 0 comma 4 close parentheses semicolon open parentheses 2 comma 3 close parentheses

►Menentukan nilai maksimum dengan substitusi titik pojok pada f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 x plus 5 y

open parentheses 0 comma 0 close parentheses rightwards arrow f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals 3 times 0 plus 5 times 0 equals 0 open parentheses 4 comma 0 close parentheses rightwards arrow f open parentheses 4 comma 0 close parentheses equals 3 times 4 plus 5 times 0 equals 12 open parentheses 0 comma 4 close parentheses rightwards arrow f open parentheses 0 comma 4 close parentheses equals 3 times 0 plus 5 times 4 equals 20 open parentheses 2 comma 3 close parentheses rightwards arrow f open parentheses 2 comma 3 close parentheses equals 3 times 2 plus 5 times 3 equals 21

Dengan demikian nilai maksimum dari f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 x plus 5 y yang memenuhi daerah yang diarsir adalah 21.space space 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved