Perhatikan gambar di bawah ini. Lingkaran yang kecil mempunyai persamaan: x 2 + y 2 ‐2 x ‐4 y ‐4 = 0 . Persamaan lingkaran yang besar adalah ....

Pembahasan

Jawaban yang benar adalah B. Untuk mencari persamaan lingkaran yang besar, kita membutuhkan koordinat titik pusat lingkaran besar dan jari-jari lingkaran besar. Dari gambar pada soal diketahui bahwa dua lingkaran tersebut bersinggungan dalam, sehingga kita dapat mencari koordinat titik pusat lingkaran besar dari persamaan lingkaran kecil. Ingat konsep mencari koordinat pusat lingkaran, jari-jari dari suatu lingkaran serta persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran : x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 Titik pusat : ( − 2 1 ​ A , − 2 1 ​ B ) Jari − jari : ⎝ ⎛ ​ ( − 2 1 ​ A ) 2 + ( − 2 1 ​ B ) 2 − C ​ ⎠ ⎞ ​ Persamaan lingkaran : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Kita cari koordinat titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran kecil terlebih dahulu dari persamaan x 2 + y 2 ‐2 x ‐4 y ‐4 = 0 dengan A = − 2 dan B = − 4 . Titik pusat Jari − jari ​ = = = = = = = = ​ ( − 2 1 ​ A , − 2 1 ​ B ) ( − 2 1 ​ ⋅ ( − 2 ) , − 2 1 ​ ⋅ ( − 4 ) ) ( 1 , 2 ) ( − 2 1 ​ B ) 2 + ( − 2 1 ​ B ) 2 − C ​ ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 − ( − 4 ) ​ 1 + 4 + 4 ​ 9 ​ 3 ​ Dari gambar pada soal di atas diketahui bahwa jari-jari lingkaran besar dua kali jari-jari lingkaran kecil sehingga jari-jari lingkaran besar adalah 6 . Untuk koordinat titik pusat lingkaran besar, x bergeser sejauh jari-jari lingkaran kecil, sehingga koordinat titik pusat lingkaran besar menjadi ( 1 + 3 , 2 ) = ( 4 , 2 ) . Persamaan lingkaran besar dengan jari-jari 6 dan koordinat titik pusat ( 4 , 2 ) adalah sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 4 ) 2 + ( y − 2 ) 2 x 2 − 8 x + 16 + ( y 2 − 4 y + 4 ) x 2 + y 2 − 8 x − 4 y + 20 − 36 x 2 + y 2 − 8 x − 4 y − 16 ​ = = = = = ​ r 2 6 2 36 0 0 ​ Dari perhitungan di atas didapat bahwa persamaan lingkaran besar adalah x 2 + y 2 − 8 x − 4 y − 16 ​ = ​ 0 ​ . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.